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基于双线性方法的非线性发展方程的求解

作　者: 张欢
导　师: 田播；李叶舟
学　校: 北京邮电大学
专　业: 应用数学
关键词: Hirota双线性方法非线性发展方程孤子解周期解
分类号: O175.29
类　型: 硕士论文
年　份: 2009年
下　载: 214次
引　用: 1次
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内容摘要

过去几十年,非线性发展方程被广泛应用于流体力学、等离子体物理、非线性光学、凝聚态物理、生物学等领域。近来,高维非线性发展方程引起了人们的重视。与此同时,产生了各种非线性发展方程的求解方法,比如:反散射方法、Painlev(?)分析方法和Hirota双线性方法等。其中,Hirota双线性方法自产生以来,被广泛地应用于各类非线性发展方程的求解,并且被证明是一种非常有效和实用的方法。本论文正是以Hirota双线性方法的理论为基础,利用符号计算,求得了(2+1)-维Boussinesq方程的周期解。本文章节及内容安排如下:第一章首先介绍了非线性发展方程各类解析解之一的孤子解的相关知识,包括孤立子历史回顾及其发展现状、孤子解的常用构造方法。第二章Hirota双线性方法基础。首先介绍了双线性导数的基本性质,接着列举了双线性化各类非线性发展方程时常用的三种变换,并通过具体的方程给出详细的步骤。最后,总结了上述三种变换的主要求法。第三章研究了在Hirota双线性方法中占有重要位置的双线性形式的B(a|¨)cklund变换,并给出了相应的非线性叠加公式的求法。第四章双线性方程的求解,是本文的重点。首先通过两种方法求得了双线性方程的孤子解,即:直接对双线性方程利用小参数法求解和通过B(a|¨)cklund变换关系式求解。然后,借助θ-函数,利用双线性算子的性质,求得了(2+1)-维Boussinesq方程的周期解,包括:1-周期解及2-周期解。最后,通过参数约束,将所求周期解约化为相应的孤子解。

全文目录

摘要  4-6
ABSTRACT  6-10
第一章绪论  10-18
  1.1 孤立子历史回顾及其发展现状  10-12
    1.1.1 孤立子历史回顾  10-11
    1.1.2 孤立子研究现状  11-12
  1.2 孤子解的常用构造方法  12-18
    1.2.1 反散射方法  13-14
    1.2.2 Painlev(?)分析方法  14
    1.2.3 Hirota双线性方法  14-15
    1.2.4 Wronskian方法和Pfaffian方法  15
    1.2.5 B(a|¨)cklund变换  15-18
第二章双线性方法基础  18-32
  2.1 双线性导数的基本性质  18-23
  2.2 非线性发展方程双线性化常用的几种变量变换  23-27
    2.2.1 有理变换  24-25
    2.2.2 对数变换  25
    2.2.3 双对数变换  25-27
  2.3 双线性变量变换的求法  27-32
    2.3.1 齐次平衡法  27
    2.3.2 Painlev(?)分析方法  27-31
    2.3.3 用现有的变换加上待定系数  31-32
第三章双线性形式的B(a|¨)cklund变换  32-38
  3.1 双线性形式的B(A|¨)CKLUND变换  32-36
    3.1.1 双线性形式的B(a|¨)cklund变换(一)  32-34
    3.1.2 双线性形式的B(a|¨)cklund变换(二)  34-36
  3.2 非线性叠加公式  36-38
第四章双线性方程求解  38-54
  4.1 双线性方程孤子解求法(一)  38-42
  4.2 双线性方程孤子解求法(二)  42-45
  4.3 双线性方程周期波解求法  45-54
    4.3.1 可化为F(D_x,D_y,…D_t)f·f=0的非线性发展方程的周期波解  45-48
    4.3.2(2+1)-维Boussinesq方程的周期波解  48-54
总结  54-55
参考文献  55-59
致谢  59-60
作者攻读学位期间发表的学术论文  60

基于双线性方法的非线性发展方程的求解

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