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一种二次非协调四边形有限元的误差估计

作　者: 王延伟
导　师: 罗钟铉
学　校: 大连理工大学
专　业: 计算数学
关键词: 非协调有限元四边形细分误差估计
分类号: O241.82
类　型: 硕士论文
年　份: 2009年
下　载: 49次
引　用: 1次
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内容摘要

有限元方法在工程技术中有着广泛的应用,也是求解微分方程的重要数值方法。非协调有限元方法在解决流体和固体力学问题时可以获得稳定的数值解,例如求解线性或非线性Stokes问题以及与弹性力学相关的问题等。近年来非协调有限元方法越来越多地引起了科学家和工程师们的关注,并将这种有限元方法应用于更广的领域。尽管在有限元方法中经常使用三角形单元,但当求解问题的区域边界具有四边形特征时,特别是在三维空间的情形,人们更希望使用某种适当的四边形有限元。本文基于Luo和Sheen提出的任意四边形网格上的一种新的二次非协调有限元,应用这种有限元求解二维空间中的二阶椭圆问题,估计该有限元在求解椭圆问题时的误差。在误差估计中首先运用变分原理将椭圆方程边值问题转换成相应的变分问题,然后运用Strang第二引理估计变分问题的二次非协调有限元方法的解与变分问题的弱解之间的误差,运用对偶论证法估计这两种解在L~2-范数下的误差。本文最后得到了这种有限元求解二阶椭圆方程Dirichlet边值问题和Robin边值问题在能量范数和L~2-范数下的最优误差估计。两种边值问题在能量范数下的误差均为O(h~2),在L~2-范数下的误差均为O(h~3)。

全文目录

摘要  4-5
Abstract  5-8
1 绪论  8-12
  1.1 有限元方法简介  8-9
    1.1.1 有限元方法的历史发展  8
    1.1.2 有限元方法的基本思想  8-9
    1.1.3 有限元方法的解题过程  9
  1.2 非协调有限元方法  9-10
    1.2.1 非协调有限元方法简介  9-10
    1.2.2 非协调四边形有限元  10
  1.3 本文的工作和组织结构  10-12
2 预备知识  12-24
  2.1 Sobolev空间和泛函分析的一些基础知识  12-15
    2.1.1 Sobolev空间  12-14
    2.1.2 泛函分析中的一些基本引理  14-15
  2.2 变分原理  15-16
  2.3 有限元空间的一些基本性质  16-19
    2.3.1 椭圆方程边值问题的变分方法  16-17
    2.3.2 有限元插值基本理论  17-18
    2.3.3 有限元方法误差估计理论  18-19
  2.4 Gauss求积公式  19
  2.5 多元样条函数空间的基础知识  19-24
    2.5.1 多元样条空间的定义  19-20
    2.5.2 多元样条空间的基本性质  20-24
3 P_2-非协调四边形有限元  24-30
  3.1 P_2-非协调有限元的构造方法  24-25
  3.2 P_2-非协调有限元空间的维数和基函数  25-30
    3.2.1 局部基函数  25-28
    3.2.2 插值算子  28-29
    3.2.3 有限元空间的维数  29-30
4 收敛性分析  30-38
  4.1 二阶椭圆方程的Dirichlet边值问题  30-36
    4.1.1 插值算子  31-32
    4.1.2 能量范数误差估计  32-34
    4.1.3 L~2-范数误差估计  34-36
  4.2 二阶椭圆方程的Robin边值问题  36-38
结论  38-40
参考文献  40-42
攻读硕士学位期间发表学术论文情况  42-43
致谢  43-44

一种二次非协调四边形有限元的误差估计

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