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非古典对称法及其在偏微分方程中的应用

作　者: 李丹
导　师: 蔡国梁
学　校: 江苏大学
专　业: 应用数学
关键词: 偏微分方程古典对称决定方程非古典对称群不变解相容性
分类号: O175.2
类　型: 硕士论文
年　份: 2008年
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内容摘要

本文研究了非古典对称方法在求解偏微分方程中的应用。非古典对称方法在经典的李对称方法的基础上添加了初始方程的表面不变条件,从而既简化了计算,又有助于得到更多的对称及群不变解。第二章对偏微分方程及其对称的一些基础知识做了介绍。主要介绍了向量场的定义、代数方程的不变群、微分方程的不变群、延拓、不变群的生成元、微分方程的对称等概念,这些知识为下面的研究打下了一定的基础。第三章首先对演化方程的对称作了详细介绍,其次,利用李群对称的待定系数法,求出了Rosenau-Hyman(RH)方程的对称。第四章研究了Boussinesq-Burgers方程的非古典对称和群不解。在许多文献中,均将非古典对称法应用于一维偏微分方程,本章将此方法进行了拓展并将其应用于二维偏微分方程组,从而,得到Boussinesq-Burgers方程的非古典对称和群不变解。第五章研究了二维热传导方程的非古典对称及其相容性。相容性同样多用于一维偏微分方程,本章除了求得热传导方程的非古典对称以外,还将相容性拓展到了二维偏微分方程,以二维热传导方程为例,证明了相容性对于二维偏微分方程也是可行的。

全文目录

摘要  6-7
ABSTRACT  7-9
第一章绪论  9-14
  1.1 研究背景  9-10
  1.2 研究现状  10-12
  1.3 本文的主要工作及其研究意义  12-14
第二章微分方程的李对称理论  14-25
  2.1 微分流形、切空间、切映射、向量场  14-16
  2.2 李群和李代数  16-19
  2.3 李变换群和无穷小生成元  19-21
  2.4 延拓变换、微分方程的不变性及群不变解  21-25
第三章 Rosenau-Hyman方程的对称  25-29
  3.1 演化方程的对称  25-26
  3.2 Rosenau-Hyman方程的对称  26-29
第四章 BOUSSinesq-Burgers方程的非古典对称及其群不变解  29-37
  4.1 非古典对称方法简介  29-30
  4.2 Burgers方程的非古典对称及其群不变解  30-32
  4.3 Boussinesq-Burgers方程的非古典对称  32-35
  4.4 Boussinesq-Burgers方程的群不变解  35-37
第五章二维热传导方程的非古典对称和相容性  37-42
  5.1 一类非线性偏微分方程的非古典对称  37-38
  5.2 二维热传导方程的非古典对称和相容性  38-42
第六章结束语  42-43
参考文献  43-46
攻读硕士期间发表的论文  46-47
致谢  47

非古典对称法及其在偏微分方程中的应用

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