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Helmholtz方程的有限元方法

作　者: 庞永
导　师: 钟尔杰
学　校: 电子科技大学
专　业: 计算数学
关键词: 有限元空间 高次插值 三角插值 数值积分 形函数
分类号: O241.82
类　型: 硕士论文
年　份: 2011年
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内容摘要


Helmholtz方程常出现在声学、弹性力学、电磁学等领域中,在科学研究中有重要的实用价值。对于它的研究,大量论文资料给出了数值求解方法的理论分析,本论文将在部分文献已推导出的理论基础上,对Helmholtz方程的变分形式进行分析总结,并将侧重点放在对Helmholtz方程的有限元方法数值求解实验上,并通过数值实验展示各种方法的数值解精度。对于一维问题,本文采用了线性插值、Hermite插值和三角插值构造单元上的形函数,并应用数学软件MATLAB编制计算程序进行了数值实验,针对波数k的不同取值,通过误差数据展示了数值解的精度。对于二维Helmholtz方程,文中分别采用了三角形单元剖分和矩形单元剖分。对于三角形单元,文中构造了线性形函数;对于矩形单元,文中采用双线性插值、Hermite插值和三角插值构造了单元形函数。另外,还利用齐次Helmholtz方程的解作为基函数,导出了相应的形函数。最后编制了程序进行数值实验,针对波数k的不同取值,通过误差数据展示了各种情况下数值解的精度。对于三维Helmholtz方程,本文先对求解区域进行了三棱柱单元剖分,并构造了单元上的线性形函数,接着又采用长方体单元对求解区域进行了剖分,分别采用线性插值、Hermite插值和三角插值构造了单元形函数。并编制程序进行了数值实验,针对波数k的不同取值,通过误差数据展示了数值解的精度。同时,本文绘制了一维问题数值解的误差曲线和二维问题数值解的误差曲面,清晰地反映了数值解与解析解之间误差的分布规律。实验数据显示,由高次插值和三角插值所构造的形函数,使Helmholtz方程有限元方法的数值解达到了较好的精度,对于方程右端具有周期性时精度更理想。对于波数较大的情形,数值解的精度仍然比较理想。

全文目录


摘要  4-5
ABSTRACT  5-8
第一章 绪论  8-11
  1.1 HELMHOLTZ 方程及求解思路简介  8-9
  1.2 本文的主要工作  9-11
第二章 HELMHOLTZ 方程的变分形式及基本理论  11-25
  2.1 一元函数的分段线性插值及结点基函数  11-12
    2.1.1 线性插值  11-12
    2.1.2 结点基函数  12
  2.2 RITZ 有限元方法  12-14
  2.3 GALERKIN 有限元方法  14-16
    2.3.1 变分法基本引理  14-15
    2.3.2 变分形式  15-16
  2.4 一维问题的有限元方法  16-17
    2.4.1 微分运算  16
    2.4.2 刚度矩阵及荷载向量  16-17
  2.5 二维单元的形函数  17-20
  2.6 RITZ-GALERKIN 有限元方法  20-22
  2.7 三维问题对应的变分形式  22-25
第三章 数值实验  25-66
  3.1 有限元方法中的数值积分  25-27
    3.1.1 平面区域上的数值积分  25-26
    3.1.2 三维空间区域上的数值积分  26-27
  3.2 线性插值构造有限元空间的形函数及对应的有限元算例  27-40
    3.2.1 一维Helmholtz 方程线性形函数对应的刚度矩阵和荷载向量  27-30
    3.2.2 三角形单元上的线性形函数及对应的有限元算例  30-34
    3.2.3 矩形单元上双线型插值形函数及对应的有限元算例  34-36
    3.2.4 三棱柱单元上的线性高次插值形函数及对应的有限元算例  36-40
  3.3 HERMITE 型插值形函数及对应的有限元算例  40-49
    3.3.1 一维问题  40-44
    3.3.2 矩形单元上的Hermite 插值形函数及相应的有限元算例  44-46
    3.3.3 六面体单元中的Hermite 插值形函数及相应的有限元算例  46-49
  3.4 三角插值有限元方法  49-66
    3.4.1 三角插值的相关内容  49-54
    3.4.2 具有周期性质的Helmholtz 方程  54-56
    3.4.3 矩形单元中的三角插值形函数及相应的有限元方法  56-59
    3.4.4 由齐次Helmholtz 方程导出的基函数的应用  59-62
    3.4.5 六面体单元中的三角插值形函数及相应的有限元方法  62-66
第四章 结论与展望  66-67
致谢  67-68
参考文献  68-71
攻硕期间取得的研究成果  71-72

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中图分类: > 数理科学和化学 > 数学 > 计算数学 > 数值分析 > 微分方程、积分方程的数值解法 > 偏微分方程的数值解法
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