本文证明下列多维广义立方双色散方程的Cauchy问题vtt-Δv-aΔvtt-bΔ2v-dΔvt=Δf(v), x∈Rn,t>0, (1) v(x,0)=v0(x),vt(x,0)=v1(x), x∈Rn (2)存在唯一的整体解,其中v(x,t)是未知函数,a,b>0,d≠0是常数,Δ是n维Laplace算子,Δ2是n维双调和算子,下标t表示对t求偏导数,f(s)是给定的非线性函数,v0(x)和v,(x)是已知的初值函数.用凸性方法讨论在一定条件下多维广义立方双色散方程Cauchy问题(1),(2)解的爆破.为了讨论方便,作展缩变换方程(1)就变成不失一般性,我们研究下列Cauchy问题utt-Δu-Δutt+Δ2u-αΔut=Δg(u), x∈Rn,t>0, (3) u(x,0)=u0(x),ut(x,0)=u1(x), x∈Rn. (4)主要结果如下:定理1.设当n=1,2,3时,s≥2和当n≥4时,s>n/2;u0∈Hs(Rn),u1∈Hs-1(Rn)且g∈C[s]+1(R)和g(0)=0,那么Cauchy问题(3),(4)有唯一解u∈C([0,T0]);Hs(Rn))∩C1([0,T0];Hs-1(Rn))∩C2([0,T0);Hs-2(Rn)),其中[0,T0)是解存在的最大时间区间.更进一步,如果那么T0=∞.下面我们证明Cauchy司题(3),(4)解的延拓条件(5)转化为证明下列条件(6),即证明定理2.设当n=1,2,3时,s≥2和当n≥4时,s>n/2,u0∈Hs(Rn),u1∈Hs-1(Rn)且g∈C[s]+1(R)和g(0)=0.则Cauchy问题(3),(4)存在唯一的局部广义解u∈C((0,T0);Hs(Rn))∩C1([0,T0);Hs-1(Rn))∩C2([0,T0);Hs-2(Rn)),其中[0,T0)是解存在的最大时间区间.同时,当时,那么T0=∞.引理1.设u0∈Hs(Rn),u1∈Hs-1(Rn)(n=1,2,3,s≥2和n≥4,s≥3/2+n/2),Λ-1u1∈L2(Rn),g∈C[s]+1(R),g(0)=0,和G0(u0)∈L1(Rn).(1)若(?)y∈R,G0(y)≥0,则Cauchy问题(1.9),(1.10)的解有估计‖Λ-1ut(.,t)‖2+‖u(.,t)‖2+‖ut(.,t)‖2+‖▽u(.,t)‖2≤E(0)e2│α│T,(?)t∈[0,T](T<T0);(2)若g’(y)是有下界,即存在一个常数C使得对于所有的y∈R,g’(y)≥C,则Cauchy问题(1.9),(1.10)的解有估计其中记号κ1和G1的定义见证明,和。分别表示在Rn上的Fourier变换和逆变换以及(?)为n维梯度算子.定理3.设引理1的条件成立,当n=1时,Cauchy问题(3),(4)存在唯一整体广义解u∈C([0,∞);Hs(Rn))∩C1([0,∞);Hs-1(Rn))∩C2([0,∞);Hs-2(Rn)).定理4.设引理1的条件成立.又设|g(y)|≤C1|y|3,其中C1为一常数.则当n=2时,s≥(?),则Cauchy问题(3),(4)存在唯一整体广义解u∈C((0,∞);Hs(Rn))nC1([0,∞);Hs-1(Rn))∩C2([0:∞);Hs-2(Rn)).注1.如果s>4+n/2(n=1,2),则Cauchy问题(3),(4)的整体广义解是整体古典解u∈C([0,∞);CB4(Rn))∩C1([0,∞);CB3(Rn))∩C2([0,∞);CB2(Rn)),n=1,2.定理5设α>0,g(y)∈C(R),u0∈H1(Rn),u1∈L2(Rn),Λ-1u1∈L2(Rn),G0(u)=和G0(u0)∈L1(Rn)且存在常数口>0,ε>0,使得2yg(y)≤2(4β+2+εα)G0(y)+(4β+εα-ε-1α)y2,(?)y∈R. (7)那么如果满足下列条件之一时,(1)E(0)<0,(2)E(0)=0,(Λ-1u0,Λ-1u1)+(u0,u1)>0, Cauchy问题(3),(4)的广义解或古典解爆破,其中E(0)=‖Λ-1u1‖2+‖u0‖2+‖u1‖2+‖▽u0‖2+2∫Rn G0(u0)dx.定理6.设α>0,g(y)∈C(R),u0∈H1(Rn),u1∈L2(Rn),Λ-1u1∈L2(Rn),且存在常数β>0,ε>0使得4βε<α,和2yg(y)≤(4β+2+εα)G0(y), (?)y∈R. (8)那么Cauchy问题(3),(4)的广义解或古典解满足下列条件之一时爆破:(1)E(0)≤0,
|