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几类分数阶微分方程的理论分析和数值近似计算

作　者: 李皋
导　师: 张春蕊
学　校: 东北林业大学
专　业: 应用数学
关键词: 分数阶Riemann-Liouville 混沌变量反馈控制时滞反馈控制数值方法
分类号: O175
类　型: 硕士论文
年　份: 2010年
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内容摘要

本文分析了两类分数阶微分方程,一方面把泰勒展开法运用到分数阶Bagley-Torvil方程中,得到此方程的近似解,另一个方面解决了分数阶Jerk模型的混沌控制问题。论文运用了多种手段研究分数阶微分方程：如在R-L定义下利用经典的微积分理论处理分数阶微分方程；运用两种混沌控制方法,即变量反馈控制法和延时反馈控制法,对一类分数阶Jerk模型进行了有效地控制；在分析特征方程方面引入了时滞微分方程的Hopf分支理论来求临界条件；仿真计算方面用MATLAB进行近似计算。本文的工作如下：第一部分给出了分数阶Bagley-Torvil方程的一种新的解法：泰勒展开法。主要思想是利用未知函数的泰勒多项式展开将此分数阶微分方程转化为一个涉及未知函数及其导数的线性方程组。并通过与已有文献数值算例的对比,表明了该方法的有效性。最后总结了Taylor展开法,进一步指出了泰勒展开法存在着的不足和需要研究的方向。第二部分应用变量反馈控制方法研究了分数阶Jerk模型的混沌控制问题。首先通过Laplace变换和时频域转化法把分数阶Jerk模型转化为近似整数阶系统,并展示了该模型的混沌性质；然后引入反馈变量,通过调节反馈强度,可以改变达到稳定周期的速度,即使施加很小的反馈系数也可以控制混沌,并能产生良好的控制效果。系统仿真验证了变量反馈控制方法的有效性。第三部分应用时滞反馈控制方法再次研究了该分数阶Jerk模型的混沌控制问题。即引入时滞反馈控制,其主要思想是：利用系统本身的输出信号的一部分,经过时间延迟,再与原来的信号做差,作为控制信号反馈到系统中去,对模型进行控制,也得到了理想的控制结果。两种控制器结构都很简单,可以实现控制器的在线调整,易于工程实现。其中变量反馈控制是利用反馈信号与输出混沌信号的差值,或者直接利用系统本身的混沌输出信号乘以适当的变量反馈系数,输入到原非线性系统中实现混沌的控制任务。而时滞反馈控制是借助于周期信号的特点,利用延迟偏差信号来镇定混沌系统自身嵌入的周期轨道,该控制方法不改变周期轨道的相关属性,所需控制能量小。

全文目录

摘要  4-5
Abstract  5-9
1 绪论  9-15
  1.1 分数阶微积分的背景与现状  9
  1.2 分数阶微分方程概述  9-10
  1.3 分数阶微分方程的数值处理概述  10
  1.4 混沌简介  10-11
  1.5 混沌运动的判断方法  11-12
  1.6 混沌控制方法的概述  12-15
2 理论基础  15-23
  2.1 分数阶微积分算子的定义及性质  15
  2.2 Laplace变换  15-16
  2.3 分数阶微积分的求解方法——时频域转换  16-19
  2.4 常微分方程系统的基本理论  19-20
  2.5 时滞微分方程分支理论  20
  2.6 霍尔维斯判据介绍  20-23
3 分数阶Bagley-Torvik方程的近似解  23-26
  3.1 序言  23
  3.2 分数阶Bagley-Torvik方程的数值方法  23-25
  3.3 数值例子  25
  3.4 本章小结  25-26
4 一类分数阶Jerk混沌模型的变量反馈控制  26-38
  4.1 序言  26-27
  4.2 分数阶混沌Jerk模型分析  27-29
  4.3 运用变量反馈控制消除混沌  29-32
  4.4 数据仿真  32-36
  4.5 本章小结  36-38
5 高阶分数阶Jerk系统的延迟反馈控制  38-48
  5.1 理论准备  38-40
  5.2 模型理论论证  40-42
  5.3 分叉分析及数据仿真  42-47
  5.4 本章小结  47-48
结论  48-49
参考文献  49-52
攻读学位期间发表的学术论文  52-53
致谢  53-54

几类分数阶微分方程的理论分析和数值近似计算

内容摘要

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