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利用对称性求解多项式方程组

作　者: 夏慧珠
导　师: 侯晓荣；王金平
学　校: 宁波大学
专　业: 基础数学
关键词: 多项式方程组 Gr(o ¨)bner基特征基本不变量轨迹簇
分类号: O152
类　型: 硕士论文
年　份: 2008年
下　载: 3次
引　用: 0次
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内容摘要

多项式等式系统经常具有对称性,而用于求解多项式方程组的Buchberger算法忽略了这种对称性,因此需要我们对它进行改进。本文以线性表示理论和不变量理论为基础,针对一般的置换群和Abelian置换群分别给出了求解基本不变量的方法,再利用文献[1]中的算法求得一个保持所有对称性的Gr(o|¨)bner基,从而达到对原算法进行改进的目的。对于一般的置换群,本文利用不变量理论以求得一组次数最低的主不变量和对应的次不变量。然而这样求得的基本不变量个数一般偏多,本文再利用求理想基的方法来减少基本不变量的个数。若给出的置换群还是一个Abelian群,则我们可以利用线性表示理论求得一个变量变换。对于变换后的群,我们能找到一组个数最少的基本不变量。若给出的置换群不是一个Abelian群,则我们可以在这个群中,找一个Abelian子群,因此同样可以用上述方法。但是这样做,使得群中的元素减少了,从而不能达到充分利用对称性进行求解的目的。本文还对线性表示理论和不变量理论给出了一个简短的介绍。我们可以利用Maple中的Groebner程序包对上述两种求基本不变量的方法进行实现(见附录B、C)。

全文目录

摘要  4-5
Abstract  5-8
引言  8-10
1 预备知识  10-18
  1.1 相关的线性表示理论  10-13
    1.1.1 基本概念  10-11
    1.1.2 标准分解  11-13
  1.2 有关的不变量理论  13-18
    1.2.1 基本概念、定理  13-15
    1.2.2 Cohen-Macaulay 性质  15-18
2 解多项式方程组的几个方法  18-25
  2.1 消元法  18-20
  2.2 利用对称性改进算法  20-25
3 利用多项式的因式分解进行预处理  25-28
4 G 为阿贝尔(Abelian)置换群  28-37
  4.1 有用的变量替换  28-32
    4.1.1 求Abelian 群的特征  29-30
    4.1.2 变量替换的作用  30-32
  4.2 如何求解变量替换后的多项式方程组  32-34
  4.3 例题  34-37
5 G 为一般的置换群  37-50
  5.1 相关概念  37-39
  5.2 求基本不变量组  39-44
    5.2.1 理论依据  40-42
    5.2.2 基本算法  42-44
  5.3 例题  44-50
6 其它例子  50-52
7 本文内容的总结以及今后研究工作的展望  52-53
参考文献  53-55
附录A 例4 的结果  55-60
附录B 第四章中的Maple程序  60-68
附录C 第五章中的Maple程序  68-74
附录D 在学研究成果  74-75
致谢  75

利用对称性求解多项式方程组

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