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基于生成函数的细分格式和小波研究

作　者: 亓万锋
导　师: 罗钟铉
学　校: 大连理工大学
专　业: 计算数学
关键词: 细分格式生成函数细分小波逼近型细分插值型细分可加细函数
分类号: TP391.7
类　型: 博士论文
年　份: 2013年
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内容摘要

细分方法是计算机辅助几何设计中一种重要的几何造型方法.经过四十余年的发展,细分方法已经进入相对成熟的阶段.用统一的框架、观点分析和研究细分方法是一项有意义的工作.本文从细分方法中生成函数的观点研究了一类生成函数的显式公式、构造插值型细分与细分小波的关系以及广义拟Butterworth样条三方面的内容.主要工作可概括如下：1.给出了一类生成函数的显式公式.针对一类由逼近型细分构造插值型细分的方法,我们采用Lane-Riesenfeld算法的基本思想,提出了这类方法所构造出的插值型细分的显式生成函数公式.在引入一个特殊的子生成函数后,我们提出的生成函数公式还可以对应为逼近型细分格式,并且也具有几何意义.我们系统地分析了生成函数的零条件和多项式再生性,发现生成函数的零条件不仅与逼近型细分的零条件有关,而且与它的多项式再生性有关.作为应用,我们将公式进行变形,获得了一些新的插值型细分和逼近型细分.2.给出了由逼近型细分构造插值型细分和构造细分小波之间的联系.将逼近型细分的生成函数乘以一个特定的生成函数就可以对应为一个插值型细分的生成函数,而构造细分小波的一个关键步骤是利用一个仿射组合重构出旧控制点.我们发现这个特定生成函数的系数恰好是仿射组合系数.插值型细分和细分小波的存在性可以由这个仿射组合的一些性质来刻画.如果仿射组合满足可逆条件,则插值型细分的存在性等价于细分小波的存在性.这个联系使得我们可以将构造细分小波的结果应用于构造插值型细分,反之亦然.我们采用多个例子来说明联系的重要性.3.提出了广义拟Butterworth可加细函数.我们采用三角多项式形式的生成函数,通过引入比拟Butterworth可加细函数更多的参数,使得广义拟Butterworth可加细函数类别更加丰富.它包含许多可加细函数,例如第一型和第二型拟样条、对偶拟样条、拟Butterworth可加细函数和几乎所有的对称和因果分数阶B样条等.我们应用Holder连续生成函数的相关理论,证明了级联算法的收敛性,并利用广义拟Butterworth可加细函数构造了L2(R)中的Riesz小波.此外,还分析了广义拟Butterworth可加细函数的正则性.

全文目录

摘要  4-5
Abstract  5-14
1 绪论  14-26
  1.1 细分发展历史与进展  14-17
    1.1.1 细分发展历史  14-15
    1.1.2 细分进展  15-17
  1.2 细分与小波  17-18
  1.3 细分格式简介  18-20
  1.4 细分中的生成函数  20-23
  1.5 Lane-Riesenfeld算法  23-24
  1.6 本文的主要工作  24-26
2 逼近型细分诱导的插值型细分的显式生成函数公式  26-40
  2.1 引言  26-27
  2.2 插值型细分生成函数的显式公式  27-30
  2.3 生成函数g~α(z)的零条件  30-34
    2.3.1 子生成函数α_O(z)的一些性质  31
    2.3.2 生成函数g~α(z)的零条件阶数  31-34
  2.4 生成函数g~α(z)的两个变形  34-38
    2.4.1 二进三次B样条细分的变形  35-36
    2.4.2 三进三次B样条细分的变形  36-38
  2.5 本章小结  38-40
3 逼近型细分诱导的细分格式  40-52
  3.1 零条件  40
  3.2 生成函数的显式公式  40-42
  3.3 生成函数g~α(z)的一些性质  42-44
    3.3.1 g~α(z)的零条件  42-44
    3.3.2 细分格式S_ga的多项式再生性  44
  3.4 数值实验  44-50
  3.5 本章小结  50-52
4 由逼近型细分构造插值型细分和构造细分小波间的关系  52-68
  4.1 引言  52-53
  4.2 由逼近型细分构造插值型细分和构造细分小波间的关系  53-58
    4.2.1 三次B样条细分的情形  53-55
    4.2.2 构造插值型细分中的仿射组合  55
    4.2.3 构造细分小波中的仿射组合  55-57
    4.2.4 两个构造问题之间的关系  57-58
  4.3 数值实验  58-66
    4.3.1 三进四点细分  58-60
    4.3.2 GP细分诱导的细分小波  60-61
    4.3.3 指数样条细分诱导的逆细分  61-63
    4.3.4 修改的矩阵型Loop细分小波诱导的插值型细分  63-66
  4.4 本章小结  66-68
5 广义拟Buttcrworth可加细函数  68-84
  5.1 引言  68-70
  5.2 基础知识与引理  70-73
  5.3 级联算法和Riesz小波  73-75
  5.4 正则性  75-79
  5.5 数值实验  79-82
  5.6 本章小结  82-84
6 结论与展望  84-86
  6.1 结论与创新点  84
  6.2 创新点摘要  84-85
  6.3 展望  85-86
参考文献  86-100
攻读博士学位期间发表学术论文情况  100-102
致谢  102-104
作者简介  104-106

基于生成函数的细分格式和小波研究

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