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广义非线性函数的构造

作　者: 贾文杰
导　师: 曾祥勇
学　校: 湖北大学
专　业: 基础数学
关键词: 广义Bent函数 Walsh变换正则Bent函数指数和 Kloosterman和置换完美非线性函数几乎完美非线性函数差分一致性
分类号: TN918.1
类　型: 硕士论文
年　份: 2013年
下　载: 4次
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内容摘要

密码函数在流密码和分组密码的设计中扮演重要的角色,是密码学研究的重要课题之一.密码函数通常是指布尔函数、向量布尔函数,以及它们的广义形式.为了保障密码系统的安全,抵御线性攻击、差分攻击等密码攻击,密码系统中采用的密码函数要求具有高的代数次数、高的非线性度、较低的差分一致性等特性.Bent函数是偶特征域上一类具有最优非线性度的布尔函数,在它的基础上人们提出了广义Bent函数.近些年来,对这些特殊的函数的研究一直是密码学界的热点.2006年,Helleseth和Kholosha将Dillon指数推广到奇特征域,并证明了广义Dillon指数构造的单项式函数是广义Bent函数当且仅当它的系数是Kloosterman和的零点.本文沿着前人的工作,考察了奇特征域上的一类指数为广义Dillion类型的二项式函数,利用Kloosterman和的方式给出了这类函数是Bent函数的判别式.本文提出的函数类中,存在和已知的单项式、二项式Bent函数仿射不等价的Bent函数,并且类中的Bent函数均是最高代数次数的即正则又正规的Bent函数.特别地,此类中还含有特征为5的有限域上的最高代数次数的正则Bent函数,而这是之前还没有的结果.低差分一致性的置换多项式(特别是完美非线性置换,几乎完美非线性置换多项式)的构造一直是很有意义并广受关注的工作.2012年,我国学者翁国标和曾祥勇给出了完美非线性的DO函数的一些特性.受到这些特性的启发,本文定义了一类DO-like函数,利用奇特征域上已知的完美非线性函数和DO-like函数间的关系,提出一种利用完美非线性的DO-like函数构造低差分一致性的置换多项式的方法,给出了依靠此方法得到的多项式的差分一致性的取值范围以及其是置换的充分必要条件.此外,本文的方法区别于已有的构造置换多项式的方法,提供了一种构造低差分置换多项式的新思路.

全文目录

摘要  5-6
Abstract  6-8
目录  8-10
1 引言  10-14
  1.1 密码学与密码函数  10-12
  1.2 本文的主要结果  12
  1.3 论文的内容和结构  12-14
2 预备知识  14-25
  2.1 有限域理论  14-15
  2.2 Kloosterman和  15-25
    2.2.1 Kloosterman和的性质(1)  15-19
    2.2.2 Kloosterman和的性质(2)  19-25
3 广义布尔函数  25-33
  3.1 基本概念与性质  25-30
    3.1.1 多项式表示  25-26
    3.1.2 迹函数表示  26-29
    3.1.3 Walsh变换与Walsh谱  29-30
  3.2 广义Bent函数  30-33
    3.2.1 基本概念  30-31
    3.2.2 Bent函数的代数次数  31
    3.2.3 仿射等价与仿射不变量  31-32
    3.2.4 一些已知的Bent函数  32-33
4 广义向量布尔函数  33-36
  4.1 基本概念与性质  33-34
  4.2 扩张仿射等价性与CCZ等价性  34
  4.3 完美非线性函数和Dembowski-Ostrom多项式  34-36
5 奇特征域上的一类二项式Bent函数类的构造  36-45
  5.1 函数f_(l,α,(?))(x)是Bent函数的判定条件  36-37
  5.2 函数f_(l,α,(?))(x)的性质  37-39
  5.3 定理5.1的证明  39-42
  5.4 定理5.2的证明  42-45
6 奇特征域上的一类低差分置换多项式的构造  45-58
  6.1 构造A中函数的性质  46-51
  6.2 应用列举  51-58
    6.2.1 单项式置换  51-52
    6.2.2 多项式置换  52-53
    6.2.3 计算机实验结果  53-58
参考文献  58-65
致谢  65

广义非线性函数的构造

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