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本学位论文主要利用Mawhin重合度定理研究两类具有偏差变元的高阶泛函微分方程周期解的存在性,并利用渐近概周期函数的等价定义研究了一类非线性脉冲中立型微分方程渐近概周期解的存在性.全文由四部分组成,具体安排如下：第一章为绪论,简要介绍了泛函微分方程周期解与渐近概周期的基本情况和相关背景,并给出了必要的预备知识.第二章运用Mawhin重合度定理研究了一类具有偏差变元的高阶泛函微分方程：x(2n)(t)+f(x(t))x’(t)+bxπ(t) +g(x(t-π1(t,x(t),x’(t)))…,x(t-πm(t,x(t),x’(t))))=p(t) (2.1.1)周期解的存在性.下面引入以下条件：(H2.1)f,p是R上的连续实函数；(H2.2)设τi(t,x,y)：R3→R1连续,τi关于t有周期2π,即πi(t+2π,x,y)≡πi(t,x,y),i=1,2,…,m；(H2.3)p(t)为2π周期函数且∫02πp(t)dt=0；(H2.4)9是Rm上的连续实函数且存在α>0,M>0,使得对于任意的Z∈Rm,有α≤|g(Z)|≤M；第二章主要结论：定理2.3.1假设条件(H2.1),(H2.2),(H2.3),(H2.4),(H2.5),(H2.6)成立,则系统(2.1.1)至少存在一个2π周期解x(t),且存在常数R*,使得|x(t)|≤R*,|x(j)(t)|≤R*,j=1,2,…,n-1.第三章利用Mawhin重合度定理研究了一类具有偏差变元的高阶Lienard型方程周期解的存在性：x(n)+f(t,x(t),x(t-π0)(t)))x’(t)+g(t,x(t),x(t-π1(t)),…,x(t-πm(t)))=p(t). (3.1.1)本章研究的模型涵盖了以往很多已研究过的模型.给出如下条件：(H3.1)f是R3上的连续函数,对任意的(x,y)∈R2,f(t,x,y)为R上的T-周期函数；(H3.2)9是Rm+2上的连续函数,对任意的(x0,x1,…,Xm)∈Rm+1,9(t,x0,x1,…,xm)为R上的T-周期函数;(H3.3)τi(t)(i=0,1,2,…,m)为R上的连续函数,且为关于t的T-周期函数；(H3.4)p(t)为R上的连续函数,且为关于t的T-周期函数；(H3.5)sup(t,x,y)∈R3 |f(t,x,y)|=A；(H3.6)存在常数c>0,使得对任意的t∈R,|9(t,x0,x1,…,xm)+f(t,x0,xm+1)x′|>|p(t)|∞,其中|xi|>c(i=0,1,...,m,m+1)；(H3.7)9可分解为9(t,x0,x1,…,xm)=K(t,x0)+∑i=1m hi(t,xi)；(H3.8)|K(t,x)|≤β1+β2|x|,其中β1,β2>0；(H3.9)|hi(t,x)-hi(t,y)|≤αi|x-y|,i=1,…,m,其中αi>0；(H3.10)lim|x|→∞|hi(t,x)/x|≤γi,i=1,…,m,其中γi>0；(H3.11)21/2∑i=1m|τi(t)|∞αi+β2T+T∑i=1mγi+A<B,(n=2k,k∈Z+),其中B=min{1,1/T}；(H3.12)21/2∑i=1m |τi(t)|∞αi+β2T+T∑i=1mγi+A<1.(n=2k-1,k∈Z+).第三章主要结论：定理3.3.1假设条件(H3.1)-(H3.10)成立,则方程(3.1.1)在(H3.11)或(H3.12)的情况下至少存在一个T-周期解.第四章讨论了一类带有时滞的非线性脉冲中立性微分方程：渐近概周期解的存在性,并且令y(t)=x′(t),将方程(4.1.1)转换成以下2n-维奇异脉冲时滞微分方程：下面给出如下条件：(H4.1)0≤Tij(t)≤τ,0<rij(t)≤τ,supt∈R |αij(t)|=aij,supt∈R |bij(t)|=bij,supt∈R |cij(t)|=cij,其中τ,di,aij,bij,cij是常数,αij(t),bij(t),cij(t),τij(t),rij(t),fij(t),bij(t),hij(t)∈C[R,R],i,j∈N.(H4.2)存在非负常数uij,uij,Wij使得连续函数fij,gij,hij满足|fij(z)|≤uij|z|,|gij(z)|≤vij|z|,|hij(z)|≤ωij|z|,i,j∈N,z∈R;(H4.3)令(?)=-((?)+(?))是M-矩阵,其中D=diag{d1,…,dn}>0,(?)=(|aijuij|)n×n ,(?)=(|bijvij|)n×n,(?)=(|cijwij|)n×n.(H4.4)存在非负矩阵Rk使得[Ik(z)]+≤Rk[x]+,x∈Rn,k=1,2,…；(H4.5)存在常数σ使得其中λ>0；(H4.6)不等式[λ(?)+(?)+(?)eλτ]z*<0成立,其中z*=(z1,…,z2n)T∈R2n∈ΩM((?)),(H4.7)σk≥1并且σkzx*≥Rkzx*,k=1,2,…,其中zx*=(z1,…,zn)T.第四章主要结论：定理4.3.1假设条件(H4.1)-(H4.7)成立,则满足初始条件的奇异脉冲时滞微分方程(4.1.2)的零解关于PC是全局指数稳定的,并且指数收敛率等于λ-σ.定理4.3.2假设条件(H4.1)-(H4.7)成立,则满足初始条件的奇异脉冲时滞微分方程(4.1.1)的零解关于PC1是全局指数稳定的,并且指数收敛率等于λ-σ.定理4.3.3假设条件(H4.1)-(H4.7)成立,则满足初始条件的奇异脉冲时滞微分方程(4.1.1)有唯一的渐近概周期解.
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