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系数矩阵误差对EIV模型平差结果的影响研究

作　者: 曾文宪
导　师: 刘经南
学　校: 武汉大学
专　业: 大地测量学与测量工程
关键词: EIV模型估计偏差最小二乘估计方法整体最小二乘估计方法敏感性分析可靠性
分类号: P207
类　型: 博士论文
年　份: 2013年
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内容摘要

经典的Gauss-Markov模型只假定观测向量包含随机误差,系数矩阵是非随机的固定值,当模型为线性形式时,采用最小二乘估计方法(LS:least squers)可得到模型参数的最优解。但实际应用中,许多情况下观测向量和系数矩阵均包含随机误差,这类平差模型称为EIV (errors-in-variables)模型。EIV模型于19世纪末就已提出,20世纪80年代前主要是统计领域开展了少量研究工作。1980年,Golub和van Loan发表了著名的奇异值分解算法(该方法实质上与1901年Pearson提出的正交回归解法相同),之后EIV模型引起了各领域的广泛关注。到目前为止,EIV模型已成为基本的数学模型之一,广泛应用于信号处理、通信工程、计算机视觉等众多科学研究和工程应用领域。EIV模型最简单的算法是忽略系数矩阵误差,采用最小二乘方法求解,但其解为近似解,不再具有最优统计特性(Xu等2012)。为了得到EIV模型的最优解,通过对最小二乘准则进行扩展,得到的能同时顾及观测向量和系数矩阵误差的整体最小二乘估计方法(TLS:total least squares)是EIV模型的严密估计方法。然而,TLS的计算量远大于LS方法,在观测值和参数数量大的情况下,TLS甚至无法求解。同时,有些参考文献实例结果表明模型的LS解和TLS解几乎没有差别(如大地坐标转换模型)。因此,我们认为EIV模型估计的一个基本问题为：究竟在什么情况下可以采用LS方法代替TLS方法?采用数学语言描述,即系数矩阵误差如何影响EIV模型的LS估计结果。遗憾的是,测绘领域尚没有文献从理论上进行研究,仅统计学领域两篇文献(Hodges和Moore1972、Davies和Hutton1975)在非常简单的假设下进行了探讨,且推导过程存在错误。因此,论文的主要研究内容之一是全面系统地研究系数矩阵误差对EIV模型LS估计结果的各种影响。平差模型的可靠性度量是平差的基本问题之一。尽管建立在Gauss-Markov模型基础上的经典可靠性理论成果丰富,但到口前为止,仅两篇文献讨论了EIV模型的可靠性理论。Schaffrin和Uzun (2011/2012)在极为特殊的权阵条件下推导了EIV模型的可靠性度量,由于公式中包括无粗差情况下的TLS解,不能用于实际计算。Proszynski (2013)直接简单套用经典可靠性理论,且只讨论了观测向量的可靠性,不能视为真正意义上的EIV模型的可靠性度量。针对EIV模型可靠性理论的缺陷,论文的主要研究内容之二是推导了系数矩阵误差对经典可靠性度量的影响,并且系统地发展了一般情况下EIV模型的可靠性理论和方法。论文的主要内容和贡献如下：(1)从EIV模型的一般情况出发,全面系统地推导了系数矩阵误差引起的LS参数估计值及其方差协方差阵的偏差、观测向最残差偏差的严密计算公式。研究结果表明,系数矩阵误差对平差结果的影响与系数矩阵量级及其方差、参数的大小有关。若定义系数矩阵的信噪比为系数矩阵量级与其中误差之比,则参数估计值的相对偏差随系数矩阵信噪比二次方的增大而迅速减小,参数估计值的相对中误差随系数矩阵信噪比的增长而减小。通常情况下,系数矩阵误差对LS参数估计值精度的影响大于对参数估计值偏差的影响。(2)论文推导了系数矩阵误差引起的单位权方差偏差的计算公式。公式表明,单位权方差的偏差随参数二次方的增长而迅速增长,随系数矩阵方差协方差阵的增大而增长。公式从理论上完美地解释了测绘领域有关文献报道的EIV模型经典LS单位权方差估计结果异常且显著偏大的情况。(3)在以上研究成果的基础上,通过对LS估计结果进行偏差改正,构造了EIV模型偏差改正的LS参数估计值、参数的方差协方差估计值以及单位权方差估计公式。(4)论文研究了系数矩阵误差对经典可靠性度量的影响,导出了系数矩阵误差引起的内部可靠性和外部可靠性偏差的计算公式。公式反映了偏差随系数矩阵信噪比二次方的增长而减小,随模型本身可靠性的增大而减小。利用偏差公式,论文构造了EIV模型观测向量偏差改正的的可靠性度最公式。(5)以partial-EIV模型为基础,建立了一般权矩阵条件下EIV模型的可靠性理论和方法,推导了观测向量和系数矩阵的内部可靠性和外部可靠性的计算公式。研究结果表明,EIV模型的多余观测数根据观测向量和系数矩阵的方差以及参数大小在观测的量和系数矩阵之间进行分配。当观测向量方差很小(系数矩阵或参数很小)时,由于观测向最(系数矩阵)分配的多余观测数很少,若出现粗差将难以发现。

全文目录

摘要  6-8
Abstract  8-16
第一章绪论  16-27
  1.1 选题背景及意义  16-19
  1.2 研究现状  19-24
    1.2.1 平差模型及其估计方法  19-21
    1.2.2 系数矩阵误差对EIV模型平差结果的影响  21-24
    1.2.3 EIV模型的可靠性理论  24
  1.3 论文研究目标和内容  24-27
    1.3.1 研究目标  24-25
    1.3.2 主要研究内容和结构  25-27
第二章 EIV模型的估计理论与方法  27-42
  2.1 引言  27
  2.2 最小二乘估计  27-28
  2.3 整体最小二乘算法  28-37
    2.3.1 经典整体最小二乘算法(SVD)  29-31
    2.3.2 加权整体最小二乘算法(WTLS)  31-34
    2.3.3 附有约束的整体最小二乘算法(ECTLS和ICTLS)  34-36
    2.3.4 其他整体最小二乘扩展算法概述  36-37
  2.4 整体最小二乘估计的统计特性  37-39
  2.5 LS和TLS估计方法在EIV模型中的应用  39-40
  2.6 小结  40-42
第三章系数矩阵误差对EIV模型LS估计的影响  42-72
  3.1 引言  42-43
  3.2 LS参数估计值的偏差  43-50
    3.2.1 偏差公式推导  45-48
    3.2.2 偏差特点和规律分析  48-50
  3.3 观测向量改正数的偏差  50-51
  3.4 系数矩阵误差对参数精度估计值的影响  51-54
  3.5 系数矩阵误差对单位权方差估计的影响  54-56
  3.6 EIV模型LS估计结果的均方差  56-57
  3.7 EIV模型偏差改正的LS估计方法  57-58
  3.8 实例分析  58-70
    3.8.1 二元线性回归模型  58-62
    3.8.2 三维大地坐标转换模型  62-66
    3.8.3 EIV模型偏差改正的LS估计实例  66-70
  3.9 小结  70-72
第四章系数矩阵误差对平差模型可靠性的影响  72-84
  4.1 引言  72
  4.2 平差模型可靠性的基本理论和方法  72-75
    4.2.1 内部可靠性  72-75
    4.2.2 外部可靠性  75
  4.3 系数矩阵误差对内部可靠性的影响  75-80
    4.3.1 内部可靠性偏差公式推导  75-79
    4.3.2 内部可靠性偏差公式分析  79-80
  4.4 系数矩阵误差对外部可靠性的影响  80
  4.5 EIV模型观测向量偏差改正的可靠性度量  80-81
  4.6 实例分析  81-83
  4.7 小结  83-84
第五章 EIV模型的可靠性理论与方法  84-105
  5.1 引言  84
  5.2 基于Partial-EIV模型的可靠性理论研究思路  84-88
    5.2.1 EIV模型的可靠性理论现状分析  84-86
    5.2.2 EIV模型可靠性理论研究技术思路  86-88
  5.3 EIV模型的内部可靠性  88-95
    5.3.1 内部可靠性公式推导  88-92
    5.3.2 EIV模型内部可靠性规律分析  92-95
  5.4 EIV模型的外部可靠性  95-96
  5.5 实例分析  96-102
    5.5.1 一元线性回归模型  96-99
    5.5.2 平面坐标转换模型  99-102
  5.6 小结  102-105
第六章总结与展望  105-107
  6.1 主要研究成果  105-106
  6.2 下一步工作展望  106-107
参考文献  107-113
攻博期间的科研成果  113-114
致谢  114

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