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复合凸规划和差凸规划及电磁弹性材料椭圆夹杂问题研究

作　者: 李刚
导　师: 杨晓琪
学　校: 哈尔滨工业大学
专　业: 应用数学
关键词: Fenchel对偶全对偶差凸规划电磁弹性材料裂纹夹杂
分类号: O224
类　型: 博士论文
年　份: 2012年
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内容摘要

本文主要为复合凸规划和差凸规划问题，建立新的最优性条件，同时研究电磁弹性材料的椭圆夹杂问题，给出其解析解，并利用已获得的最优化理论，验证最大能量释放率的存在性，为民用、化学、机械和航空航天工程等领域的相关应用研究提供参考依据。对于差凸规划问题，利用对偶参数类函数和Lagrange函数的性质以及上图技巧，引入对偶问题，找到与原问题和对偶问题相关的两个特征集，进一步得到了弱对偶，稳定零对偶间隙和稳定强对偶成立的充分性和必要性最优性条件（半闭条件，渐进闭条件和闭条件）。最后，给出次微分形式的全局约束规格条件，保证稳定全对偶成立。因为上面问题中的复合函数仅仅是线性复合，所以考虑锥凸约束的一般复合最优化问题。利用Fenchel共轭变换和凸函数共轭的上图，获得稳定Farkas引理的充要条件。这个条件比经典的Slater条件更弱。此外，我们得到了复合凸规划稳定强对偶成立的充要条件。通过一个例子，说明了复合函数的外函数锥单调递增性质的重要性。同时，我们的结论推广了最近文献中的结果。综合以上两种模型的问题，考虑锥凸约束的复合差凸最优化问题。在目标函数和约束函数是下半连续的情况下，利用上图技巧，我们构造了一个闭型约束条件。利用共轭变换，证明了这个约束规格条件是锥凸系统复合最优化问题和对偶问题之间强对偶成立的充要条件。同时获得的约束规格条件也保证了复合差凸最优化问题的强对偶成立。不过，这个条件仅仅是充分条件。对于目标函数和约束函数没有下半连续性，复合函数的外函数也不需要是锥单调递增的情况，我们首先定义了原问题的Fenchel-Lagrange对偶问题，利用共轭函数的上图，找到与原问题和对偶问题相关的两个特征集，构造三种约束条件（半闭条件，扩充正则条件和闭条件），同时证明了它们分别是弱对偶，强对偶和稳定强对偶成立的充要条件。其次，利用次微分给出了充分条件保证稳定全对偶成立。最后，应用得到的结果研究了最小-最大最优化问题和l1罚问题。作为最优化方法在力学中的应用，考虑电磁弹性材料的椭圆柱体夹杂问题，其中基体和夹杂都是电磁弹性材料。在反平面加载的情况下，利用保角变换和复变函数的知识，以解析函数的形式，给出了基体和夹杂的分析解。发现夹杂内，机电磁场是均匀的，仅随着椭圆的形状而改变。当夹杂变成了狭长的裂纹，沿着裂纹界面，应变，电场强度和磁场强度等于远程的载荷，这种情况可以作为边界条件。最后详细讨论了几种特例：不可通椭圆孔，刚体可通夹杂，线夹杂和裂纹问题。对于一般的情况(I型，II型或者III型)，根据边界条件，通过Stroh方法，我们首先获得了电磁弹性材料基体和夹杂的分析解。发现夹杂内，机电磁场都是均匀的。夹杂，基体和界面的机电磁场以明确的形式给出表达式。所有的结果均以封闭形式给出，以利于材料科学家和工程师设计和修正高级电磁弹性材料。其次，研究了裂纹问题，裂纹尖端附近的机电磁场可以由复强度因子向量来表示。同时讨论了其它几种特例：刚体可通夹杂，线夹杂，软的可通夹杂和不可通椭圆孔。最后前面的最优化理论应用到夹杂问题中，以反平面裂纹为例，验证了最大能量释放率的存在性。

全文目录

摘要  4-6
Abstract  6-8
目录  8-10
Contents  10-12
基本记号  12-14
第1章绪论  14-37
  1.1 课题背景及意义  14-16
  1.2 研究现状及分析  16-30
    1.2.1 最优性条件  16-25
    1.2.2 电磁弹性材料的缺陷问题  25-30
  1.3 预备知识  30-34
  1.4 本文的主要工作  34-37
第2章局部凸空间DC最优化问题的参数类稳定强对偶和全对偶  37-53
  2.1 引言  37
  2.2 参数类Lagrange对偶问题  37-41
  2.3 稳定强对偶  41-49
  2.4 稳定全对偶  49-52
  2.5 本章小结  52-53
第3章无限维空间复合凸函数的稳定Farkas引理  53-66
  3.1 引言  53-54
  3.2 复合凸函数的共轭变换  54-58
  3.3 复合凸函数的稳定Farkas引理  58-64
  3.4 复合凸函数的稳定强对偶定理  64-65
  3.5 本章小结  65-66
第4章复合凸函数DC规划的Fenchel-Lagrange对偶  66-76
  4.1 引言  66
  4.2 复合凸函数的共轭变换  66-74
  4.3 复合凸函数DC规划的Fenchel-Lagrange对偶  74-75
  4.4 本章小结  75-76
第5章复合凸函数DC规划的稳定强对偶和全对偶  76-96
  5.1 引言  76
  5.2 Fenchel-Lagrange对偶问题  76-80
  5.3 稳定强对偶  80-85
  5.4 全对偶  85-89
  5.5 特例  89-94
    5.5.1 最小-最大最优化问题  89-93
    5.5.2 l_1罚问题  93-94
  5.6 本章小结  94-96
第6章电磁弹性材料椭圆夹杂问题的反平面分析和一般解  96-116
  6.1 引言  96-97
  6.2 反平面分析  97-103
    6.2.1 电磁弹性介质的场方程  97-98
    6.2.2 复变量解  98-103
  6.3 一般解  103-112
    6.3.1 椭圆柱体夹杂的解  103-106
    6.3.2 各种特例  106-110
    6.3.3 不可通椭圆孔和狭长的裂纹  110-112
  6.4 反平面裂纹的能量释放率  112-114
  6.5 本章小结  114-116
结论  116-118
参考文献  118-132
附录A 通解  132-134
攻读博士学位期间发表的论文及其他成果  134-136
致谢  136-137
个人简历  137

复合凸规划和差凸规划及电磁弹性材料椭圆夹杂问题研究

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