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球面中的旋转超曲面

作　者: 黄智杰
导　师: 李海中
学　校: 清华大学
专　业: 数学
关键词: 极小曲面常平均曲率曲面旋转超曲面
分类号: O186.11
类　型: 硕士论文
年　份: 2013年
下　载: 6次
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内容摘要

空间形式中的极小超曲面和常平均曲率超曲面一直是子流形几何中两个重要的研究方向. Lawson在1970年提出猜想: S³中的Cliford环面是唯一的嵌入极小环面.2012年S. Brendle证明了Lawson猜想.同年, B. Andrews和李海中证明了S³中的常平均曲率嵌入环面都是旋转环面,从而解决了Pinkall-Sterling猜想.他们还进一步研究了S³中的旋转环面,得到了S³中嵌入常平均曲率环面的完全分类.高维情形的研究也吸引了许多数学家的兴趣.20世纪70年代, T. Otuski研究了球面中具有两个不同主曲率的极小嵌入超曲面,证明了它们必须是Cliford超曲面.在本文中,我们研究了Sⁿ⁺¹中的旋转超曲面,得到了一类超曲面的分类定理.我们的主要结果有以下两个方面:首先,我们研究了（n+1）-维球面中一类特殊的旋转超曲面,具体说来就是两个主曲率λ,μ满足线性关系,即存在常数α>0,使得λ+αμ=0,利用Brendle和Andrews-Li的方法,我们可以证明主曲率只能为常数,从而这类曲面只能是Sn1和S1的乘积.其次,我们研究了（n+1）-维球面中的嵌入常平均曲率超曲面.我们研究了函数K（H,n,C）关于参数C的单调性,证明了当n=3和4时, K（H, nC）关于C是单调递减的,从而证明了对任意H≥0,当且仅当正整数m满足cot（π/m）＜H＜(（m²-2）（n-1）^1/2)/n(（m²-1）^1/2)时,存在唯一一个具有m-叶对称性的非等参旋转常平均曲率超曲面.作为推论,我们得到了Sⁿ⁺¹,（n=3,4）中存在非等参常平均曲率H的旋转超曲面的关于H的充要条件.

全文目录

摘要  3-4
Abstract  4-7
第1章引言  7-14
  1.1 基本概念  7-10
  1.2 背景介绍  10-12
  1.3 主要结果  12-14
第2章 Lawson猜想和Pinkall-Sterling猜想  14-19
  2.1 Lawson猜想  14-15
  2.2 Pinkall-Sterling猜想  15-19
第3章 S~(n+1)中的超曲面  19-35
  3.1 介绍  19
  3.2 算子  19-23
  3.3 最大内切球  23-29
  3.4 定理的证明  29-35
第4章 S~(n+1)中常平均曲率超曲面  35-46
  4.1 介绍  35-37
  4.2 准备工作  37-39
  4.3 单调性  39-46
第5章结论和进一步研究方向  46-48
  5.1 本论文的主要工作  46
  5.2 可进一步开展的研究工作  46-48
参考文献  48-50
致谢  50-52
个人简历、在学期间发表的学术论文与研究成果  52

球面中的旋转超曲面

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