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黎曼流形上曲率泛函的变分问题

作 者: 郭希
导 师: 李海中
学 校: 清华大学
专 业: 数学
关键词: 黎曼泛函 稳定性 二次泛函 Weyl泛函 p-th Gauss-Bonnet曲率
分类号: O186.12
类 型: 博士论文
年 份: 2013年
下 载: 11次
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内容摘要


黎曼泛函的研究有着很长的历史,而变分问题是微分几何研究中的一类重要问题。本论文研究了n维闭黎曼流形(M,g)上四类曲率泛函的变分问题,计算了泛函的一阶变分和二阶变分公式,并且研究了这类泛函的临界度量的稳定性问题。主要结果有四个方面:1.n≥5时,我们计算了泛函Fa=∫M(σ2-ασ-1)dv(?)制在M1中的一阶变分公式,并且证明了若局部共形平坦的度量g是Fa|M1临界点,则其满足b:=δ2(g)-n-2/n-4aδ1(g)为常数,且若b+n/2(n-1)a2>0成立,则g具有常截曲率。2.Gursky,Viaclosky计算了Ft=V4/n-1∫M(|Ric|2+tR2)dv的一阶变分公式,利用该公式,我们计算了在临界度量处Ft在S2(M)(M上对称的(0,2)型张量场构成的向量空间)的子空间S0上的二阶变分公式。并且我们得到了环面上Ft的临界度量。由上述二阶变分公式,我们证明了对于特殊的t,Ft的二阶变分在S0的子空间上是非负的。3.n≥4时,我们计算了Weyl泛函W=2/n∫M|W|n/2dv的一阶变分公式,并得到了环面上W的临界度量。我们计算了环面上该临界度量处W的二阶变分公式,进而证明了S3(1)×S3(1)上的标准度量是严格稳定的。4.我们给出了泛函L(p)=V2p/n-1∫Lddv(1≤p<n/2)的一阶变分公式的新证明,其中Lp表示p-th Gauss-Bonnet曲率:p=2时,我们计算了在临界度量处L(2)在S0上的二阶变分公式,利用该公式,我们证明了在球面的标准度量go处,L(2)在S0(g0)上的二阶变分非正。我们也考虑了泛函L(p)限制在共形类[g]上的变分问题,我们计算了L(p)|g]在临界点处的二阶变分公式,利用该公式,我们证明了在球面的标准度量g0处,L(p)|[g0]的二阶变分是非负的。

全文目录


摘要  3-4
Abstract  4-8
主要符号对照表  8-9
第1章 引言  9-14
  1.1 背景及已知结果  9-12
  1.2 结构安排  12-14
第2章 预备知识  14-17
第3章 a泛函的变分  17-25
  3.1 基本概念与结果  17-18
  3.2 基本性质与引理  18-23
  3.3 定理3.2的证明  23-25
第4章 二次泛函F t的变分  25-42
  4.1 一阶变分公式  26-29
    4.1.1 定理4.1的证明  27-29
  4.2 二阶变分公式  29-42
    4.2.1 二阶变分的计算  29-34
    4.2.2 环面上 t的二阶变分  34-37
    4.2.3 定理4.2的证明  37-42
第5章 共形不变量 的变分  42-61
  5.1 定理5.1的证明  43-44
  5.2 环面上 临界点的稳定性  44-58
    5.2.1 环面上 的临界度量  44-47
    5.2.2 环面上 的二阶变分  47-58
  5.3 定理5.2的证明  58-61
第6章 (p)泛函的变分  61-72
  6.1 基本概念与结果  61-64
  6.2 一阶变分公式  64-66
  6.3 共形类上的二阶变分  66-68
  6.4 (2)的二阶变分  68-72
第7章 结论  72-74
  7.1 本论文的主要工作  72
  7.2 可进一步开展的研究工作  72-74
参考文献  74-77
致谢  77-79
个人简历、在学期间发表的学术论文与研究成果  79

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中图分类: > 数理科学和化学 > 数学 > 几何、拓扑 > 微分几何、积分几何 > 微分几何 > 黎曼几何
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