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刚性微分方程指数方法的稳定性研究

作　者: 房伟如
导　师: 徐阳
学　校: 哈尔滨工业大学
专　业: 计算数学
关键词: 刚性微分方程指数Runge-Kutta方法指数Adams方法指数一般线性方法 S-稳定
分类号: O241.82
类　型: 硕士论文
年　份: 2012年
下　载: 13次
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内容摘要

在许多高科技领域及实际问题中，经常出现用刚性常微分方程来描述的化学或物理过程，而偏微分方程半离散化产生的常微分方程组又是刚性微分方程的另一类重要来源。这就使得刚性微分方程的数值解法显现出毋庸置疑的重要性。对于刚性问题，为了避免用显式方法时数值稳定性对步长的苛刻要求，一般采用高稳定的隐式方法来求解。A-稳定的隐式单步法在处理刚性非线性系统时存在一些问题，如有些A-稳定的方法会给出高度不稳定的解并且得到的数值解的精度常常与方法阶无关，故Prothero和Robinson定义了一种新的稳定性准则即S-稳定。相对于具有较大计算量成本的隐式方法，显式的指数积分有很大优势。本文主要研究指数积分求解刚性微分方程数值解的稳定性。首先，阐述了刚性微分方程的研究背景并举例说明了刚性问题在实际生活中的应用，介绍了刚性微分方程和指数积分的研究成果。其次，研究了指数单步法在处理刚性常微分方程初值问题时的稳定性。引入了指数单步法S-稳定和刚性相容的定义，给出了指数单步法一般类刚性相容和S-稳定性条件。给出数值算例，给出了一阶、二阶、三阶的配置型指数Runge-Kutta方法分析其S-稳定性，并针对S-稳定与二阶Runge-Kutta方法进行比较，将方法用于具体方程，以验证得到的结论。然后，研究了指数多步法在处理刚性常微分方程初值问题时的稳定性。给出了指数多步方法S-稳定的定义，并证明了两类显式指数Adams方法的S-稳定性；本章也分析了一类显式指数一般线性方法，给出了其S-稳定的定义，并证明了该方法的S-稳定性。给出数值算例，给出了两类二阶指数多步法和一类三阶二级二步的指数一般线性方法分析其S-稳定性，将方法应用于具体方程以验证得到的结论。并得到指数多步方法优于指数单步法。最后对全文进行总结，并对将来的研究工作进行了初步探讨。

全文目录

摘要  4-5
Abstract  5-7
第1章绪论  7-14
  1.1 问题来源  7-8
  1.2 研究现状  8-13
  1.3 本文主要研究内容  13-14
第2章指数单步法的 S-稳定性分析  14-29
  2.1 指数单步法一般类格式  14-15
  2.2 指数单步法的 S-稳定性  15-17
  2.3 配置型指数 Runge-Kutta 方法的 S-稳定性  17-19
  2.4 数值算例  19-28
  2.5 本章小结  28-29
第3章指数多步法的 S-稳定性分析  29-50
  3.1 一类显式多步指数积分的 S-稳定性  29-33
  3.2 指数 Adams 方法的 S-稳定性  33-36
  3.3 指数一般线性方法的 S-稳定性  36-39
  3.4 数值算例  39-49
  3.5 本章小结  49-50
结论  50-51
参考文献  51-56
致谢  56

刚性微分方程指数方法的稳定性研究

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