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一类奇异微分方程解的正则性及其应用

作 者: 刘小林
导 师: 简怀玉
学 校: 清华大学
专 业: 数学
关键词: 微分方程 奇异 正则性 全非线性椭圆方程
分类号: O175
类 型: 博士论文
年 份: 2013年
下 载: 10次
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内容摘要


本文研究一类奇异微分方程和一类全非线性奇异椭圆方程的正则性问题。第一部分我们研究的是一类奇异微分方程。首先我们运用比较原理和伸缩论证得到方程解的增长性估计和解在边界点附近的性质;然后我们引入了一个迭代,运用这个迭代和归纳法我们得到了方程解的正则性估计;最后把我们的论证方法推广到了一类含参奇异微分方程,并得到相应的正则性结论。第二部分我们把第一部分得到的奇异微分方程和含参奇异微分方程解的正则性理论分别应用到实际问题Ginzburg-Landau方程和调和映照问题及抛物Ginzburg-Landau方程,并得到相应问题旋转对称解的正则性结果。第三部分我们研究一类全非线性奇异椭圆方程,得到这类方程解的高阶正则性估计。我们对只含一阶导系数奇异项的全非线性方程找到了一个相容性条件,并且证明了这类方程的解是C∞光滑到边界当且仅当我们的相容性条件成立。

全文目录


摘要  3-4
Abstract  4-6
主要符号对照表  6-7
第1章 引言  7-16
  1.1 问题背景与研究现状  7-11
  1.2 研究内容和主要结果  11-15
    1.2.1 一类奇异微分方程正则性  11-13
    1.2.2 一类全非线性奇异偏微分方程的高阶正则性  13-15
  1.3 结构安排  15-16
第2章 一类奇异微分方程和一类含参奇异微分方程解的正则性  16-32
  2.1 一类奇异微分方程解的正则性  16-25
  2.2 含参奇异微分方程解的正则性  25-32
第3章 Ginzburg-Landau方程组和调和映照旋转对称解的一些性质  32-42
  3.1 Ginzburg-Landau方程组和调和映照旋转对称解的存在性  32-34
  3.2 解的正则性  34-36
  3.3 抛物Ginzburg-Landau方程旋转对称解的正则性  36-42
第4章 一类全非线性偏微分方程的全局正则性  42-57
  4.1 定理1.3的证明  42-51
    4.1.1 基本引理  42-44
    4.1.2 D_x|~ju的C~(2,α),估计  44-48
    4.1.3 u和D_x|~ju的C~(3,α)估计  48-49
    4.1.4 u和D_x|~ju的C~(k,α)估计(4 ≤ k ≤ m(r0) + 2)  49-51
  4.2 定理1.4的证明及相容性条件  51-57
    4.2.1 u和D_x|~ju的C~(3,α)估计  52-53
    4.2.2 u和D_x|~ju的C~(k,α)估计(4 ≤ k ≤ N)  53-55
    4.2.3 C~∞(G|_r)正则性的相容性条件  55-57
第5章 总结与展望  57-59
  5.1 论文主要工作和总结  57
  5.2 后续研究  57-59
参考文献  59-64
致谢  64-66
个人简历、在学期间发表的学术论文与研究成果  66

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中图分类: > 数理科学和化学 > 数学 > 数学分析 > 微分方程、积分方程
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