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二阶微分方程多点边值问题特征值的结构

作　者: 束隆梅
导　师: 章梅荣
学　校: 清华大学
专　业: 数学
关键词: 特征值二阶方程多点边值
分类号: O175.8
类　型: 硕士论文
年　份: 2013年
下　载: 6次
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内容摘要

二阶常微分方程y′′+q(x)y=λy,0≤x≤1,在Dirichlet和Neumann边条件下的特征值为一列下有界趋向正无穷的实数。马如云在2006年对有理点多点边值问题进行了分析。B.P.Rynne在2007年研究了正有界系数多点边值问题，得出特征值为一列趋于无穷的正实数。2010年，章梅荣对一般多点边值问题进行研究，得出特征值为复数域中的数列，实部下有界而趋于正无穷，并且该数列包含一列实特征值。进一步的，当系数满足一定的约束条件时，复特征值至多有有限个，并且当系数足够小时，所有特征值均为实数。以上问题的多点边条件均是仅与解本身有关，可以看成是Dirichlet边条件的推广。本文研究一般位势，而且边条件与解的导数有关的特征值问题。该边条件可以看成是Neumann边条件的推广。我们从简单的势函数为0的情况出发，通过几乎周期函数与双曲函数的性质分析得到此时实特征值为下有界上至无穷的数列。然后将一般位势特征函数与无位势特征函数作比较，分析得到特征值序列实部下有界。然后再次通过几乎周期函数的性质给出一列实特征值。当系数较小时，再把一般特征函数与Neumann特征函数进行比较估计，由Rouche定理得到特征值分布情况，并由零点定理得出较大特征值均为实数，即复特征值仅有有限个。然后再进一步的，当系数足够小时，通过隐函数定理，不仅较大特征值为实数，所有特征值均为实数，与经典Neumann问题结果相符。以上工作的边条件均是端点中一点固定，另一点是线性多点边值条件。论文里还讨论了两个端点均为线性多点边条件的情况，并由几乎周期函数的性质得出在无位势以及一般位势情况下，特征值仍然包含一列趋于无穷的实数列。

全文目录

摘要  3-4
Abstract  4-7
第1章 Dirichlet和Neumann特征值理论回顾  7-12
第2章二阶方程多点边值问题回顾  12-19
  2.1 有理点多点边值问题  12-14
  2.2 正有界系数多点边值问题  14-15
  2.3 一般多点边值问题  15-19
第3章一类多点边值问题特征值结构的主要结果  19-26
第4章对边条件的推广  26-31
参考文献  31-33
致谢  33-35
个人简历  35

二阶微分方程多点边值问题特征值的结构

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