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铁磁链方程及相关映射方程爆破解的研究

作　者: 钟澎洪
导　师: 王术
学　校: 北京工业大学
专　业: 数学
关键词: 朗道-栗弗西兹方程 爆破 精确解 摄动理论 能量估计
分类号: O175
类　型: 博士论文
年　份: 2013年
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内容摘要


本文研究磁性材料中的铁磁链模型及其相关模型的爆破问题,利用比较原理、摄动理论的渐近展开方法、精确求解方法、古典能量方法以及一些重要的不等式,探讨铁磁链模型及其相关模型解的爆破问题.第1章为绪论,主要介绍各类铁磁链方程的发展历史、模型及其研究进展以及本文的结构和主要研究内容.第2章研究了两类不同的Landau-Lifehitz-Gilbert方程(简记为LLG)的导出系统.这两类方程可看做是LLG的极端情形.当在LLG中略去地转项时,我们考虑一类球面上的带有特殊的外场的(2+1)-空间时间维度的广义调和映照热流方程.在此章节中,我们证明了该广义方程存在一正则的有限时间爆破解.另外,当在LLG中忽略Gilbert项时,我们得到了带各向异性场LLG的精确爆破解.第3章研究LLG的极端情形,即调和映照方程的等变类解.定义了相应的Frenet标架,对变量和哈密顿量做重整.构造了导出摄动方程的近似解并对解做相应的局部化估计.在局部估计的基础上,对方程的解做穿靴估计,建立相应的正交条件,定义余项的相应非线性能量等.我们推导相应的模方程并给出混合能量的Morawetz型等式.在本章,我们给出了相应的爆破定理和给出相应的爆破速率估计.第4章主要研究2和3维空间中Landau-Lifshitz方程(简称LL方程)的爆破解.本章构造了LL方程的精确解.基于适当的变换,本章得到了柱对称和一般欧式空间中LL方程的各种类型的解.其中包括了周期波解、磁涡解和爆破解.为了更直观的了解的演化,在本章的最后也给出了解的图像和相应的梯度图像.第5章构造了柱坐标下多维可压与不可压LL方程的一些精确解.本章给出了LL方程的3种不同的非爆破解.另外,本章也给出了该方程的爆破解.值得指出的是,这两类不同的解的遍历区域都是落在锥面上的.本章中给出了可压LL方程两个球面S2上的爆破解.对于非均质的各向同性的LL方程,给定有限能量的光滑初始条件,解能否发展出球面上的爆破解还是不清楚的.文章中的例子说明确实存在这种情形的爆破解.第6章基于解的两种拟设,构造了柱坐标下(2+1)-空时非均质各向同性Landau-Lifshitz方程(简称IILL)的精确爆破解.从这两个例子中,我们看到在2维空间中存在类型丰富的S2上的爆破解.给定光滑的初始值,在初始时刻这两类解可以在有限区域(或无界)区域保持能量有限.为了更直观的了解的性态,我们给出了隐式爆破解及其能量密度的演化图像.从图像的中我们看出解的性态与理论分析是一致的.第7章构造了多维拟薛定谔映射方程(简称PSM)在双曲空间H2中和锥体上的精确解.结果表明H2上的非行波解在有限域上的能量是有限的.H2空间中的PSM是否存在解,能否在光滑初始条件下发展出爆破还不甚清楚.从本章的例子中看出：多维PSM在双曲空间中的解可以在这种特定的初边值条件下产生有限时间爆破.另外,本章也给出了方程的一些全局光滑解.第8章主要研究2+1空-时各向同性反铁磁链方程(简称IAF).在等变的2维球面上,考查了同伦数N≥1的各类解的爆破特性.使用摄动分析理论中的渐进匹配方法,本文分析了等变解在静态解附件的展开,并研究了它的奇异行为.特别的,我们在柱对称坐标下给出了爆破速率的精确估计,并给出了爆破速率不稳定性的证明.对两类不同IAF,结论表明它们的爆破速度是有很大差别的.基于隐格式有限元的数值结果,可以观察到解发生了有限时间爆破.

全文目录


摘要  4-7
英文摘要  7-13
第1章 绪论  13-27
  1.1 模型简介  14-19
  1.2 研究进展介绍  19-25
    1.2.1 研究历史  19-21
    1.2.2 研究策略  21-25
  1.3 本文的主要研究内容  25-27
第2章 两类Landau-Lifshitz-Gilbert方程所导出模型的一些爆破解  27-47
  2.1 导出模型和结果  27-32
  2.2 轴对称下的等变解方程  32-34
  2.3 有限时间的奇异性  34-40
  2.4 方程的精确爆破解  40-45
  2.5 本章小结  45-47
第3章 Landau-Lifshitz-Gilbert方程调和映照部分的爆破  47-91
  3.1 方程的导出  47-55
    3.1.1 Frenet基下的摄动方程  47-51
    3.1.2 Hamiltonian算子的谱分解和导出方程  51-55
  3.2 近似解及其局部化处理  55-75
    3.2.1 近似解的误差项的范数估计  56-70
    3.2.2 误差项的局部范数估计  70-75
  3.3 Morawetz散射能量估计  75-84
    3.3.1 符号约化和算子分解  77-78
    3.3.2 一些基本引理  78-84
  3.4 爆破定理的证明  84-89
  3.5 本章小结  89-91
第4章 可压与不可压Landau-Lifshitz方程的一些周期解和爆破解  91-107
  4.1 研究方程  91-92
  4.2 涡量解和周期波解  92-99
  4.3 S~2上的爆破解  99-103
  4.4 解的几何图形  103-106
  4.5 本章小结  106-107
第5章 可压与不可压Landau-Lifshitz方程的柱坐标下的解  107-127
  5.1 研究方程  107
  5.2 LL方程三类非爆破解  107-113
  5.3 LL方程的爆破解  113-117
  5.4 可压LL方程的爆破解  117-122
  5.5 几何图像  122-124
  5.6 本章小结  124-127
第6章 两类非均质各向同性Landau-Lifshitz方程的爆破解  127-143
  6.1 具体模型  127-128
  6.2 IILL方程类型Ⅰ的爆破解  128-130
  6.3 类型Ⅱ的爆破解  130-134
  6.4 几何图像  134-139
  6.5 两类解的比较  139-141
  6.6 本章小结  141-143
第7章 对偶的Landau-Lifshitz方程在锥状体和双曲空间中的光滑与爆破解  143-155
  7.1 模型简介  143-145
  7.2 锥上的爆破解  145-147
  7.3 PSM方程的周期解和非行波解  147-153
  7.4 本章小结  153-155
第8章 反铁磁链方程的等变类型解的爆破速率  155-181
  8.1 模型的引入  155-156
  8.2 解在内区域的近似展开  156-159
  8.3 外区域的解  159-163
  8.4 爆破速率和爆破稳定性  163-168
  8.5 OIAF的爆破速率  168-169
  8.6 数值模拟  169-179
  8.7 本章小结  179-181
结论  181-183
参考文献  183-193
附录：攻读博士学位期间参加的科研项目  193-195
攻读博士学位期间发表的学术论文  195-197
致谢  197-198

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中图分类: > 数理科学和化学 > 数学 > 数学分析 > 微分方程、积分方程
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