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基于开花的非均匀B样条曲线细分

作　者: 杨玉婷
导　师: 韩力文
学　校: 河北师范大学
专　业: 计算数学
关键词: 细分 B样条非均匀 Lane-Riesenfeld算法对称性可退化性开花
分类号: TP391.72
类　型: 硕士论文
年　份: 2012年
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内容摘要

细分方法因其计算方式简单高效、适用于任意拓扑结构等优点,备受图形学家的欢迎,并已成为计算机辅助几何设计(CAGD)和计算机图形学(CG)领域中的一个国际性研究热点。细分方法是按照一定的规则对网格不断加细,得到一个网格序列,这个网格序列的极限就定义了一个光滑的曲线或曲面。本文基于开花方法,以满足对称性、可退化性为目的,对二进制和三进制的非均匀加细光滑细分算法进行研究。本文主要有以下三方面成果：为了构造具有可退化性的非均匀细分算法,对于d次B样条曲线,我们定义了第一步加细为双写初始控制顶点,第二步光滑为d层光滑的一类非均匀细分算法,对于二进制情况称此类算法为Double-d非均匀细分算法,给出了细分算法具有对称性、可退化性的充分必要条件。基于开花方法,文章构造性地给出了同时具有对称性和可退化性的Double-2Both细分算法和Double-3Both细分算法,以及只具有对称性的Double-5Symmetric细分算法。并将Double-3Both非均匀细分算法与已有的三次对称可退化的非均匀细分算法做比较,验证了该算法在计算上的优势。最后,通过对Double-d细分算法的加细规则和光滑规则的放宽,给出了任意一种或一类非均匀的加细光滑细分算法具有对称性的充要条件。在三进制方面进一步研究第一步加细为书写三次初始控制顶点,第二步光滑为d层光滑的非均匀细分算法,称此类算法为Triple-d非均匀细分算法。基于开花方法,本文提出具有对称性的Triple-2Symmetric细分算法和Triple-3Symmetric细分算法。通过比较得出,三进制的非均匀细分算法的控制顶点的增长速度快,细分结果更加光滑,更适合于实际问题,对于复杂的曲线,可以通过较少的细分次数达到更好的细分效果。以上对于d次B样条曲线的非均匀的加细光滑细分算法方面的探索,丰富和完善了细分算法在对称性和可退化性方面的研究。通过对Double-d细分算法的光滑层数的放宽,基于开花方法,提出了一种二进制的任意次非均匀B样条的细分算法。从细分算法的结果和计算量两个角度出发,将该算法与其他算法作了分析与比较,说明了：不同算法虽过程不同,但结果相同的结论；当忽略次数对计算量的影响时,该算法的计算量与已有任意次的非均匀细分算法的计算量相当。通过引入两个开花多项式,详细地证明了该算法的正确性,同时在减少存储量方面、奇偶次统一方面对算法做了改进,使得算法在编程时更容易理解和实现。

全文目录

摘要  4-5
Abstract  5-9
1 绪论  9-13
  1.1 细分方法  9-10
  1.2 研究背景  10-12
  1.3 本文框架  12-13
2 Double-d非均匀细分算法  13-31
  2.1 基础知识  13-14
  2.2 Double-d非均匀细分算法的定义  14-16
  2.3 Double-d非均匀细分算法具有对称性和可退化性的充要条件  16-22
  2.4 Double-d Both细分算法  22-26
    2.4.1 两种Double-2 Both细分算法  22-24
    2.4.2 两种Double-3 Both细分算法  24-26
  2.5 Double-5 Symmetric细分算法  26-27
  2.6 非均匀的加细光滑细分算法具有对称性的充要条件  27-30
  2.7 小结  30-31
3 Triple-d非均匀细分算法  31-39
  3.1 均匀的三进制细分算法  31-32
  3.2 Triple-d Symmetric细分算法  32-37
    3.2.1 Triple-2 Symmetric细分算法  33-35
    3.2.2 Triple-3 Symmetric细分算法  35-37
  3.3 数值实例  37-38
  3.4 小结  38-39
4 一种任意次非均匀B样条的细分算法  39-53
  4.1 算法介绍  39-42
  4.2 与其他任意次非均匀B样条细分算法的比较  42-44
    4.2.1 细分算法的结果比较  42
    4.2.2 细分算法的计算量比较  42-44
  4.3 算法正确性的证明  44-49
  4.4 算法改进  49-51
    4.4.1 基于减少存储量的算法改进  49-50
    4.4.2 基于奇偶次统一的算法改进  50-51
  4.5 小结  51-53
5 总结与展望  53-55
  5.1 研究成果  53
  5.2 研究展望  53-55
参考文献  55-59
致谢  59-60
攻读学位期间取得的科研成果清单  60

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