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光子晶体能带结构的有限元法研究

作　者: 高坛坛
导　师: 袁健华
学　校: 北京邮电大学
专　业: 运筹学与控制论
关键词: 光子晶体 光子带隙 有限元法 特征值问题 迭代法
分类号: O482
类　型: 硕士论文
年　份: 2013年
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内容摘要


光子晶体能带结构问题是电磁波研究中一类有着较强的实际背景和应用前景的数学物理问题,以麦克斯韦方程组作为理论基础,主要研究波在周期性人工材料中的传播问题。光子晶体是由具有不同介电常数的介质按一定周期排列而形成的人造结构,其重要特征是具有光子禁带,电磁波若在禁带频率范围内则不允许在光子晶体内传播。光子晶体的能带结构是光子晶体研究的基础,对应用广泛的一维和二维光子晶体结构构建数学模型,设计有效的数值算法是有着重要实际意义的研究问题。本文主要研究光子晶体能带结构的有限元数学理论和有限元算法求解。其研究工作涉及模型的构造、有限元离散格式设计、有限元误差的理论分析、有限元算法实现以及数值结果的物理特性分析等。对于一维光子晶体结构,本文以电场作为工作变量,对于波源为平面波的情形建立了数学模型,构建有限元算法求解了给定光子晶体结构的透射率,从而得到该结构的光子禁带频率范围。基于求解禁带结构的有限元算法,本文分析了光子晶体禁带与光子晶体晶格结构、材料介电常数等的关系。对于二维光子晶体结构,本文考虑TE和TM模式,分别以电场和磁场为工作变量建立了二维光子晶体能带结构的有限元变分问题,设计了有限元离散格式。给定频率下,该二维问题是一类电磁场特征值问题,且具有拟周期边界条件。基于求解广义特征值问题的反幂法和子空间迭代法,本文设计了与有限元算法结合的数值求解过程,数值求解出了光子晶体中传播的波的传播常数。基于有限元数学模型和数值算法,本文对一维光子晶体结构和二维简单正方晶格结构分别进行了数值模拟。数值求解的能带结构图和物理理论、实验结果基本一致,相应的物理特性也可以此由得到。进一步,我们还对一维光子晶体进行了最优结构设计的讨论,本文的数值试验结果表明我们算法是行之有效的,可以为光子晶体的结构设计提供指导和帮助。

全文目录


摘要  4-6
ABSTRACT  6-10
第一章 绪论  10-17
  1.1 光子晶体的简介  10-13
    1.1.1 光子晶体的简述  10-12
    1.1.2 光子晶体特性  12-13
  1.2 光子晶体的数值研究方法  13-15
    1.2.1 常用的数值研究方法  13-14
    1.2.2 有限元方法  14-15
  1.3 本文的研究目的和主要内容  15-17
    1.3.1 本文的研究目的  15
    1.3.2 本文的主要内容  15-17
第二章 光子晶体结构的数学物理模型  17-27
  2.1 Maxwell方程组  17-19
  2.2 边界条件  19-21
  2.3 光子晶体周期性  21-23
  2.4 布里渊区域  23-27
第三章 一维光子晶体能带问题的有限元分析  27-36
  3.1 一维光子晶体的两点边值问题  27-29
  3.2 一维有限元模型的实现  29-36
    3.2.1 泛函的推导  29-30
    3.2.2 有限元离散化  30-32
    3.2.3 有限元模型推导步骤  32-36
第四章 一维光子晶体结构设计数值算例  36-44
  4.1 一维二元光子晶体  36-39
    4.1.1 带宽和介质填充率的关系  36-37
    4.1.2 带宽和介质折射率的关系  37-39
  4.2 一维四元光子晶体  39-44
    4.2.1 带宽和周期数的关系  39-41
    4.2.2 带宽和中心波长的关系  41
    4.2.3 带宽和参数α的关系  41-44
第五章 二维光子晶体能带特性分析  44-68
  5.1 二维光子晶体的连续和离散变分问题  44-49
    5.1.1 二维光子晶体的标量波动方程  44-47
    5.1.2 连续变分问题  47-48
    5.1.3 变分问题的有限元离散  48-49
  5.2 二维有限元数值算法的实现  49-62
    5.2.1 三角形网格剖分  49-53
    5.2.2 基函数的选取  53-55
    5.2.3 有限元变分及边界条件处理  55-58
    5.2.4 特征值问题的数值算法  58-62
  5.3 数值算例  62-68
    5.3.1 二维正方形光子晶体带隙图  62-64
    5.3.2 二维光子晶体等频线  64-65
    5.3.3 介质填充率对能带的影响  65-68
第六章 总结与展望  68-70
参考文献  70-73
致谢  73-74
攻读硕士期间发表的学术论文目录  74

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中图分类: > 数理科学和化学 > 物理学 > 固体物理学 > 固体性质
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