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Klein-Gordon方程和Schr(o|¨)dinger方程的人工边界条件

作 者: 张智文
导 师: 韩厚德; 金石
学 校: 清华大学
专 业: 数学
关键词: 人工边界条件 Klein-Gordon 方程 two-level Schro(o ¨)dinger 多尺度椭圆方程 有限点方法
分类号: O175
类 型: 博士论文
年 份: 2011年
下 载: 59次
引 用: 0次
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内容摘要


本文研究了无界区域上的Klein-Gordon方程(包括一维线性Klein-Gordon方程,一维非线性Klein-Gordon方程和二维sine-Gordon方程),和势能面耦合的two-level Schro(o|¨)dinger方程的人工边界条件,另外研究了势能面耦合的two-levelSchro(o|¨)dinger方程的势能面跳跃算法和多尺度椭圆方程的多尺度有限点方法。Klein-Gordon方程在相对论量子力学,统计物理和非线性偏微分方程中的孤立子理论等领域有着极为广泛的应用。由于方程是定义在无界物理区域上的,使得已有的数值计算方法,例如有限差分方法和有限元方法都不能直接应用于数值求解。解决问题的一个办法是引进人工边界,将无界物理区域分割成有界的计算区域和余下的无界区域。新引进的人工边界成为有界计算区域的边界。论文系统地研究并且得到了一维线性Klein-Gordon方程,一维非线性Klein-Gordon方程和二维sine-Gordon方程的人工边界条件,从而将原问题约化为有界区域上的初边值问题。通过数值求解这些有界区域上的初边值问题,就可以得到原问题在有界计算区域上的限制解。势能面耦合的two-level Schro(o|¨)dinger方程是量子化学中的一个计算模型。由于势能面的耦合甚至相交,Born-Oppenheimer近似方法不再适用。论文提出了一种基于半经典极限的数值计算方法—-势能面跳跃算法,并且用该方法数值模拟了surface hopping现象。另外论文也得到了two-level Schro(o|¨)dinger方程的人工边界条件,从而将原问题约化为有界区域上的初边值问题,从而缩小了实际数值模拟时所需要的计算区域,提高了算法的计算效率。多尺度椭圆方程在复合材料,多孔渗水流体等工程领域有着广泛的实际应用。由于问题的解具有多尺度的性质,传统的数值方法所需要的计算量和内存量都非常大、甚至是不可行的。论文提出了一种多尺度有限点方法来克服这个困难。数值计算结果表明,该方法可以在粗网格上捕捉到原问题的多尺度信息,同时可以降低计算量和节省内存。

全文目录


摘要  4-5
Abstract  5-9
第1章 引言  9-22
  1.1 课题目的和意义  9-11
  1.2 国内外研究状况和进展  11-20
    1.2.1 人工边界条件方法的研究现状  11-15
    1.2.2 势能面耦合的 two-level Schr(o|¨)dinger 方程的研究现状  15-19
    1.2.3 多尺度椭圆型方程的数值方法  19-20
  1.3 论文各部分的主要内容  20-22
第2章 一维线性 Klein-Gordon 方程的人工边界条件  22-38
  2.1 连续型的整体人工边界条件  23-32
    2.1.1 人工边界条件的推导  23-27
    2.1.2 差分格式及其稳定性估计  27-31
    2.1.3 一个快速算法  31-32
  2.2 离散型的整体人工边界条件  32-36
  2.3 数值算例  36-38
第3章 一维非线性 Klein-Gordon 方程的人工边界条件  38-47
  3.1 局部型的人工边界条件  38-42
  3.2 数值算例  42-47
第4章 二维 sine-Gordon 方程的人工边界条件  47-60
  4.1 局部型的人工边界条件  48-54
  4.2 数值算例  54-60
第5章 势能面耦合的 two-level Schr(o|¨)dinger 方程的势能面跳跃算法  60-81
  5.1 波恩-奥本海默近似  61-64
  5.2 势能面跳跃算法的推导  64-68
  5.3 有限体积法计算格式的构造  68-75
  5.4 数值算例  75-81
    5.4.1 背景介绍  75-78
    5.4.2 数值结果  78-81
第6章 势能面耦合的 two-level Schr(o|¨)dinger 方程的人工边界条件  81-95
  6.1 局部型的人工边界条件  82-88
  6.2 数值算例  88-95
第7章 多尺度椭圆方程的多尺度有限点方法  95-113
  7.1 一维问题的算法构造  96-102
  7.2 二维问题的算法构造  102-108
  7.3 数值算例  108-113
第8章 结论  113-115
  8.1 研究总结  113-114
  8.2 未来研究展望  114-115
参考文献  115-123
致谢  123-125
个人简历、在学期间发表的学术论文与研究成果  125

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中图分类: > 数理科学和化学 > 数学 > 数学分析 > 微分方程、积分方程
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