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非线性偏微分方程的群不变解和群分类

作　者: 黄晴
导　师: 屈长征
学　校: 西北大学
专　业: 理论物理
关键词: 几何热方程 仿射热方程 对称群 优化系统 群不变解 四阶抛物方程 群分类
分类号: O175.29
类　型: 博士论文
年　份: 2008年
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内容摘要


本文完成了在微分几何、晶体增长、图像处理等许多领域应用广泛的两个曲面发展方程几何热方程和仿射热方程的对称群分析，得到了方程的相似约化和群不变解；此外还研究了物理、化学、地质中非常重要的一类四阶抛物方程的对称群分类问题，得到了大量具有丰富对称结构的方程。主要成果如下：1．用经典李对称方法对几何热方程做了对称群分析，给出了方程的李对称，得到了Fi（u）=ki，i=1，2，…，6；k6=1时方程的基本相似约化，构造了约化后的二维偏微分方程的优化系统，讨论了约化常微分方程和相应于优化系统的精确解。2．用经典李对称方法对仿射热方程做了对称群分析。先将方程在Fi（u）=ki，（i=1，2，…，8）时约化为二维偏微分方程，再构造这些二维方程的对称群、优化系统及相应的群不变解，进而解得仿射热方程的群不变解。此外还对一种特殊情形k1=k6=k8=0，k3=k4=k7=1，k2=-1和k5=2／3下的约化常微分方程作了进一步的讨论。3．讨论了四阶抛物方程的对称群分类问题。分类过程包括以下三步：先构造了方程的等价群，方程所容许的一般形式的对称群和关于未知函数F的分类方程；再结合抽象李代数的结构，用已构造的一般形式的李对称生成算子来实现方程可能容许的李对称群；最后，将所得到的对称群的生成算子代入到分类方程中，并求解所得偏微分方程组，得到函数F的表达式，解得对应的不变方程。通过对称群分类方法，我们构造了容许半单代数或者直到四维的可解李代数的所有不等价的方程，并给出了一些容许五维可解李代数的方程。这些方程的主要对称性质归纳如下：·给出了三个不等价的容许一维李代数的方程；·给出了两个对称群同构于半单李代数sl（2，R）的不变方程；·得到了九个容许二维李代数的不变方程，其中四个方程容许Abelian代数，五个方程容许非Abelian代数；·构造了四十四个容许三维可解李代数的不变方程；·得到了六十一个容许四维可解李代数的不变方程。·给出了一些容许五维可解李代数的不变方程。这里得到的不等价方程中不但包括很多已知的方程，也包括一大类有着丰富的对称群结构的新的方程，这些新的方程可能对某些新的非线性现象的模拟具有重要意义。

全文目录


摘要  4-6
Abstract  6-9
目录  9-11
第一章 绪论  11-19
  §1.1 研究背景与课题意义  11-17
    §1.1.1 对称群方法  11-15
    §1.1.2 群分类方法  15-17
  §1.2 主要成果和内容组织  17-19
第二章 几何偏微分方程的群不变解  19-64
  §2.1 引言  19-22
  §2.2 几何热方程的群不变解  22-40
    §2.2.1 几何热流的李对称  22-24
    §2.2.2 约化几何热流为二维偏微分方程  24-26
    §2.2.3 方程(2.11)的对称群分析  26-34
    §2.2.4 方程(2.12)的对称群分析  34-39
    §2.2.5 几何热流的群不变解  39-40
  §2.3 仿射热方程的群不变解  40-63
    §2.3.1 仿射热方程的李对称群  40-42
    §2.3.2 约化仿射热方程为二维偏微分方程  42-46
    §2.3.3 方程(2.20)的对称群分析  46-50
    §2.3.4 方程(2.23)的对称群分析  50-54
    §2.3.5 仿射热方程的精确解  54-55
    §2.3.6 仿射热方程在k_8=0时的约化  55-63
  §2.4 总结与展望  63-64
第三章 一类四阶抛物方程的群分类  64-102
  §3.1 引言  64-66
  §3.2 分类方程和等价变换  66-71
  §3.3 关于半单李代数不变的方程  71-78
  §3.4 关于低维可解李代数不变的方程  78-88
    §3.4.1 容许二维李代数的方程  78-81
    §3.4.2 容许三维可解李代数的方程  81-88
  §3.5 关于四维可解李代数不变的方程  88-98
    §3.5.1 可分解四维可解李代数  88-92
    §3.5.2 不可分解四维可解李代数  92-98
  §3.6 关于五维可解李代数不变的方程  98-100
  §3.7 总结与展望  100-102
参考文献  102-107
致谢  107-109
攻读博士期间的基金项目  109-110
攻读博士期间主要文章列表  110
已完成的文章  110

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中图分类: > 数理科学和化学 > 数学 > 数学分析 > 微分方程、积分方程 > 偏微分方程 > 非线性偏微分方程
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