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数值积分的若干问题研究

作　者: 谢聪聪
导　师: 王兴华
学　校: 浙江大学
专　业: 计算数学
关键词: Sobolev类 Hermite信息最佳求积最佳插值完全样条 Iyengar不等式中心算法 Gauss-Turán求积 Cauchy主值 Hadamard有限部分积分
分类号: O241.4
类　型: 博士论文
年　份: 2007年
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内容摘要

本文主要研究了数值积分中的几个问题：最佳求积，带权函数积分的最佳求积公式和Hadamard有限部分积分的数值计算。对自然数r和常数K＞0，以KW^r[a，b]表示区间[a，b]上r-1阶导数绝对连续并且r阶导数f^（r）满足|f^（r）（t）|≤K，a．e．t∈[a，b]的函数f的全体所构成的Sobolev类。现在假设函数f∈KW^r[a，b]不知道其表达式，而只知其在一组给定节点x：=（x₁，x₂，…，x_n）∈Rⁿ上的函数值和直到r-1阶的导数值。这些已知的函数值和导数值记为称之为Hermite信息。如果对一组给定数据Y，有利用这组给定数据，我们希望给出积分∫_a^b f（t）dt的最佳求积公式和误差估计。详言之，在所有可能的求积泛函Q：H_X^r（KW^r[a，b]）→R中找出一个求积公式Q^*，使得对所有满足H_X^r（f）=Y的f∈KW^r[a，b]的积分∫_a^b f（t）dt的最大误差达到最小，即那么称满足上式的求积公式Q^*（Y）为基于给定信息Y的最佳求积公式。同时其误差界R（Y）称为对积分的Hermite信息Y的半径。关于求积公式的极值问题，通常还有Sard意义下的和Kolmogorov-Nikolskii-Schoenberg意义下的最佳求积公式两种。这两种最佳求积公式与上面提到的基于给定信息的最佳求积公式之间的区别是：第一，这两种求积公式都局限于在线性求积泛函中寻找；第二，它们没有利用给定的数据Y，而是在整个函数类KW^r[a，b]中寻求。而我们知道，信息的获取往往是有代价的，因而必须加以利用。因此，从某种角度来讲，上面提到的这两种求积公式并不是最理想的。我们在文中将详细讨论三种最佳求积公式之间的关系，并且提供了一种由基于给定信息的最佳求积公式得到其它两种求积公式的方法。基于给定信息的最佳求积公式的概念最先由王兴华和宓湘江在文献[92]中提出，并且给出当r=2时具体的求积公式和误差估计。而r=1的情形也在文献[71]中给出。现在，本文利用一些代数上的技巧获得了在上述意义下r=3，4时的最佳求积公式和误差估计。这个课题进一步的发展可参见[76，77，79，94]。另外，作者利用求得的最佳求积公式和误差估计的显式表达式得到一阶Iyengar型不等式在三阶，四阶的推广。Iyengar不等式自从1938年Iyengar提出来之后，就不断有学者试图将它推广到更高的阶。但是，这些推广往往加了一些限制条件或者即使推广了然而并不是符合Iyengar原义的推广。这里，我们给出了Iyengar不等式在真正意义上的的推广。本文还得到r阶Sobolev类KW^r[a，b]中带权函数积分的基于给定信息的最佳求积公式及其误差估计。文中讨论了如下形式的权函数ρ（t）=（1-t²）^m-1／2，（t-x_i）^m-1／2(x_i+1-t)^m-1／2（i=1，2，…，n-1），sin mt，cos mt，其中m为非负整数，并且就第一类Chebyshev权函数（1-t²）^-1／2给出一些数值例子与Gauss-Tu（?）an求积公式进行比较。本文最后一部分考虑Hadamard有限部分积分的数值计算问题。1932年Hadamard把高阶奇异积分的Cauchy主值中引起积分发散的项删去，将剩下的有限部分积分定义成高阶Cauchy积分的主值，称之为Hadamard有限部分积分。具体表达式定义为其中ξ∈（a，b），p∈N₀：={0，1，…}。一般情况下，（1）式右端第二项的积分值是容易计算的，所以我们着重研究第一项积分的数值计算。首先，我们可以将第一项积分写成差商的形式，即无论是用Gauss型求积公式还是插值型求积公式来近似计算积分（2）时，求积公式中都将涉及到差商f[x_k，（?）]的计算问题，其中x_k是求积节点。那么当x_k与ξ充分接近时，直接用f在x_k和ξ上的函数值来计算差商将是非常困难的。在文中，我们用f的Lagrange插值多项式的差商来近似代替f的差商。该插值多项式是函数f在另一组节点a₀，a₁，…，a_n上插值得到的。虽然插值多项式中也涉及到在另一组节点a₀，a₁，…，a_n上差商的计算问题，但我们可以把这组节点的间距取得足够大，以便使计算能够顺利进行。随后，我们利用对称群的循环指标多项式将求积公式显式地表示出来，并且给出一些数值计算结果。

全文目录

目录  3-5
摘要  5-8
Abstract  8-12
第一章绪论  12-22
  1.1 引言  12-13
  1.2 最佳求积  13-17
    1.2.1 经典的求积公式  13-14
    1.2.2 不同理论框架下的最佳求积  14-17
  1.3 奇异积分  17-22
    1.3.1 基础知识  17-19
    1.3.2 Cauchy主值和Hadamard有限部分积分  19-22
第二章最佳求积和Iyengar不等式的推广  22-62
  2.1 基于给定信息的最佳求积  22-45
    2.1.1 r=1的情形  22-25
    2.1.2 辅助引理  25-32
    2.1.3 非退化类W_*~r上的信息特征和最佳求积  32-37
    2.1.4 函数类KW~r[a,b]上的信息特征和最佳求积  37-45
  2.2 三种不同意义下最佳求积公式之间的关系  45-57
    2.2.1 r=2的情形  46-49
    2.2.2 一般情形  49-54
    2.2.3 数值结果  54-57
  2.3 Iyengar不等式的推广  57-62
    2.3.1 研究的背景  57-58
    2.3.2 三阶、四阶Iyengar不等式  58-62
第三章带权函数的最佳求积  62-77
  3.1 Gauss-Turán求积  62-65
  3.2 带Chebyshev权函数的最佳求积  65-73
    3.2.1 主要结果  65-70
    3.2.2 数值结果  70-73
  3.3 振荡型积分  73-77
第四章奇异积分的数值计算  77-94
  4.1 研究背景  77-83
    4.1.1 Gauss型求积公式  77-79
    4.1.2 插值型求积公式  79-83
  4.2 预备知识  83-85
  4.3 新型求积公式  85-94
    4.3.1 求积公式  86-90
    4.3.2 数值例子  90-94
参考文献  94-103
发表文章目录  103-104
简历  104-105
致谢  105

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