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色散方程(组)的低正则性

作 者: 徐桂香
导 师: 苗长兴
学 校: 中国工程物理研究院
专 业: 应用数学
关键词: Besov空间 Cauchy问题 Kato光滑效应 Klein-Gordon-Schr(o ¨)dinger系统 Littlewood-Paley分解 Littlewood-Paley三分法 修正Kawahara方程 Schr(o ¨)dinger方程 Strichartz估计 Xφs,b空间
分类号: O436.3
类 型: 博士论文
年 份: 2006年
下 载: 81次
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内容摘要


在本文中,介绍了最近一些年来,在色散方程(组)Cauchy问题的局部和整体适定性理论方面的新方法。 首先,在第一章中,介绍了基于Strichartz估计,基于Xφs,b模估计方法研究色散方程的局部适定性理论的一般框架。这两种方法都是用Banach不动点定理构造局部解。为此,需要建立适当的齐次,非齐次的线性估计和非线性估计。第一节介绍了基于Strichartz估计方法常用的一些估计和一个具体的应用。第二节,介绍了基于Xφs,b模估计方法,由于齐次,非齐次的线性估计具有普适性,因而将局部适定性归结为适当的非线性估计。 其次,在第二章中,结合基于Xφs,b模估计的局部适定性(定理2.1)和高-低频截断方法,研究了二维二阶(Yukawa)耦合作用,三阶自作用的Klein-Gordon-Schr(?)dinger系统,并证明了粗糙初值整体解的存在唯一性(定理2.2)。这也就是低正则性问题。 二阶(Yukawa)耦合作用的Klein-Gordon-Schr(?)dinger系统与Zakharov系统结构非常相似。已有大量的工作致力于它们的低正则性研究。Pecher分别用高-低频截断方法[86]和I-Method[88]研究了一维Zakharov系统的低正则性问题。同时,Pecher在[87]中使用高-低频截断方法研究了三维二阶(Yukawa)耦合作用的Klein-Gordon-Schr(?)dinger系统;Tzirakis在[109]中用I-Method研究了一,二,三维二阶(Yukawa)耦合作用的Klein-Gordon-Schr(?)dinger系统。值得一提的是:最近,Colliander等在[24]中用另一种迭代方式给出了一维Zakharov系统,三维二阶(Yukawa)耦合作用的Klein-Cordon-Schr(?)dinger系统几乎最优的整体适定性。但此方法依赖于特殊的非线性结构。对于二阶(Yukawa)耦合作用,三阶自作用的Klein-Gordon-Schr(?)dinger系统不适用。 从物理角度看,Hs(s<l,l表示守恒的Hamiltonian量的正则性,一般而言,l=1)中的初值,其低频部分有有限能量,但是其高频部分可能具有无限能量,随着时间的演化,能量可能在有限时间里从高频到低频的无限转移,从而导致爆破。幸运的是,当s充分接近l,并且非齐次线性部分比齐次线性部分具有更好的光滑效应时,Bourgain的高-低频截断方法[8]证明不可能发生能量从高频到低频的无限传输。后来,Keel和Tao进一步放宽了”非齐次线性部分比齐次线性部分具有更好的光滑效应”条件,给出了I-方法[60],[61]。 最后,在第三,四章中,使用了基于Strichartz估计的局部适定性理论的变体,在齐次Besov空间((?)2,∞sk,(?)2,qsk),非齐次Besov空间(B2,qs)中,用Schr(?)dinger算子,修正Kawahara算子的Kato光滑效应,极大函数估计取代相应的Strichartz估计,利用频率局部化技术,插值技术分别研究了非线性Schr(?)dinger方程,修正Kawahara方程的局部适定性和整体适定性,以及小初值的散射结果(其中s>sk

全文目录


序言  3-5
摘要  5-7
ABSTRACT  7-12
第一章 局部适定性理论  12-32
  §1.1 基于Strichartz估计的局部适定性理论  13-23
    §1.1.1 Schr(o|¨)dinger算子的线性估计  13-14
    §1.1.2 波算子的线性估计  14-17
    §1.1.3 Klein-Gordon算子的线性估计  17-20
    §1.1.4 应用  20-23
  §1.2 基于X_φ~(s,b)模估计的局部适定性理论  23-32
    §1.2.1 X_φ~(a,b)空间定义,基本性质  23-25
    §1.2.2 截断函数和线性估计  25-26
    §1.2.3 局部适定性理论  26-32
第二章 Klein-Gordon-Schr(o|¨)dinger系统的低正则性  32-74
  §2.1 简介  32-35
  §2.2 双线性估计  35-44
  §2.3 局部适定性和唯一性  44-47
  §2.4 能量的界和初值的分解  47-49
  §2.5 正则部分的进一步估计  49-51
  §2.6 具粗糙初值的部分  51-69
  §2.7 迭代过程  69-74
第三章 非线性Schr(o|¨)dinger方程Cauchy问题  74-100
  §3.1 简介  74-76
  §3.2 相局部化函数的线性估计  76-81
  §3.3 线性估计和非线性估计  81-89
  §3.4 主要结论  89-97
  §3.5 散射理论和其它应用  97-100
第四章 修正Kawahara方程的Cauchy问题  100-122
  §4.1 简介  100-101
  §4.2 相局部化函数的线性估计  101-105
  §4.3 线性估计和非线性的估计  105-110
  §4.4 主要结论  110-117
  §4.5 散射理论和其它应用  117-122
AppendixA:Littlewood-Paley分解图示  122-124
参考文献  124-132
攻读博士学位期间发表或待发表的主要论文  132-134
感谢  134

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中图分类: > 数理科学和化学 > 物理学 > 光学 > 物理光学(波动光学) > 偏振与色散
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