学位论文 > 优秀研究生学位论文题录展示
色散方程(组)的低正则性
作 者: 徐桂香
导 师: 苗长兴
学 校: 中国工程物理研究院
专 业: 应用数学
关键词: Besov空间 Cauchy问题 Kato光滑效应 Klein-Gordon-Schr(o ¨)dinger系统 Littlewood-Paley分解 Littlewood-Paley三分法 修正Kawahara方程 Schr(o ¨)dinger方程 Strichartz估计 Xφs,b空间
分类号: O436.3
类 型: 博士论文
年 份: 2006年
下 载: 81次
引 用: 0次
阅 读: 论文下载
内容摘要
在本文中,介绍了最近一些年来,在色散方程(组)Cauchy问题的局部和整体适定性理论方面的新方法。 首先,在第一章中,介绍了基于Strichartz估计,基于Xφs,b模估计方法研究色散方程的局部适定性理论的一般框架。这两种方法都是用Banach不动点定理构造局部解。为此,需要建立适当的齐次,非齐次的线性估计和非线性估计。第一节介绍了基于Strichartz估计方法常用的一些估计和一个具体的应用。第二节,介绍了基于Xφs,b模估计方法,由于齐次,非齐次的线性估计具有普适性,因而将局部适定性归结为适当的非线性估计。 其次,在第二章中,结合基于Xφs,b模估计的局部适定性(定理2.1)和高-低频截断方法,研究了二维二阶(Yukawa)耦合作用,三阶自作用的Klein-Gordon-Schr(?)dinger系统,并证明了粗糙初值整体解的存在唯一性(定理2.2)。这也就是低正则性问题。 二阶(Yukawa)耦合作用的Klein-Gordon-Schr(?)dinger系统与Zakharov系统结构非常相似。已有大量的工作致力于它们的低正则性研究。Pecher分别用高-低频截断方法[86]和I-Method[88]研究了一维Zakharov系统的低正则性问题。同时,Pecher在[87]中使用高-低频截断方法研究了三维二阶(Yukawa)耦合作用的Klein-Gordon-Schr(?)dinger系统;Tzirakis在[109]中用I-Method研究了一,二,三维二阶(Yukawa)耦合作用的Klein-Gordon-Schr(?)dinger系统。值得一提的是:最近,Colliander等在[24]中用另一种迭代方式给出了一维Zakharov系统,三维二阶(Yukawa)耦合作用的Klein-Cordon-Schr(?)dinger系统几乎最优的整体适定性。但此方法依赖于特殊的非线性结构。对于二阶(Yukawa)耦合作用,三阶自作用的Klein-Gordon-Schr(?)dinger系统不适用。 从物理角度看,Hs(s<l,l表示守恒的Hamiltonian量的正则性,一般而言,l=1)中的初值,其低频部分有有限能量,但是其高频部分可能具有无限能量,随着时间的演化,能量可能在有限时间里从高频到低频的无限转移,从而导致爆破。幸运的是,当s充分接近l,并且非齐次线性部分比齐次线性部分具有更好的光滑效应时,Bourgain的高-低频截断方法[8]证明不可能发生能量从高频到低频的无限传输。后来,Keel和Tao进一步放宽了”非齐次线性部分比齐次线性部分具有更好的光滑效应”条件,给出了I-方法[60],[61]。 最后,在第三,四章中,使用了基于Strichartz估计的局部适定性理论的变体,在齐次Besov空间((?)2,∞sk,(?)2,qsk),非齐次Besov空间(B2,qs)中,用Schr(?)dinger算子,修正Kawahara算子的Kato光滑效应,极大函数估计取代相应的Strichartz估计,利用频率局部化技术,插值技术分别研究了非线性Schr(?)dinger方程,修正Kawahara方程的局部适定性和整体适定性,以及小初值的散射结果(其中s>sk,
|
全文目录
序言 3-5 摘要 5-7 ABSTRACT 7-12 第一章 局部适定性理论 12-32 §1.1 基于Strichartz估计的局部适定性理论 13-23 §1.1.1 Schr(o|¨)dinger算子的线性估计 13-14 §1.1.2 波算子的线性估计 14-17 §1.1.3 Klein-Gordon算子的线性估计 17-20 §1.1.4 应用 20-23 §1.2 基于X_φ~(s,b)模估计的局部适定性理论 23-32 §1.2.1 X_φ~(a,b)空间定义,基本性质 23-25 §1.2.2 截断函数和线性估计 25-26 §1.2.3 局部适定性理论 26-32 第二章 Klein-Gordon-Schr(o|¨)dinger系统的低正则性 32-74 §2.1 简介 32-35 §2.2 双线性估计 35-44 §2.3 局部适定性和唯一性 44-47 §2.4 能量的界和初值的分解 47-49 §2.5 正则部分的进一步估计 49-51 §2.6 具粗糙初值的部分 51-69 §2.7 迭代过程 69-74 第三章 非线性Schr(o|¨)dinger方程的Cauchy问题 74-100 §3.1 简介 74-76 §3.2 相局部化函数的线性估计 76-81 §3.3 线性估计和非线性估计 81-89 §3.4 主要结论 89-97 §3.5 散射理论和其它应用 97-100 第四章 修正Kawahara方程的Cauchy问题 100-122 §4.1 简介 100-101 §4.2 相局部化函数的线性估计 101-105 §4.3 线性估计和非线性的估计 105-110 §4.4 主要结论 110-117 §4.5 散射理论和其它应用 117-122 AppendixA:Littlewood-Paley分解图示 122-124 参考文献 124-132 攻读博士学位期间发表或待发表的主要论文 132-134 感谢 134
|
相似论文
- 一类孤子方程的可积离散化,O175.2
- 带短域的分数阶Schrǒdinger算子的散射,O177
- 二维带位势Schr(?)dinger方程的圆平均端点Strichartz估计,O175.2
- 发展方程保辛和多辛结构数值格式,O241.82
- 调和分析方法及偏微分方程正则性问题研究,O175.2
- 一些非线性波动方程的多辛算法研究,O241.82
- 一类n维广义修正Benney-Luke方程的Cauchy问题,O175
- 一类具阻尼非线性波动方程的Cauchy问题,O175.29
- 一类非线性四阶波动方程Cauchy问题的整体吸引子,O175.29
- 加强二进制分解及初值在位势空间和Besov型空间中的适定性,O174.3
- Triebel型一致分解空间及相关性质,O177
- 两类椭圆偏微分方程的无穷多解,O175.25
- 一类Schr(?)dinger方程低正则性下的散射问题,O175.2
- 修正的BL方程的Cauchy问题及与KP方程的联系,O175
- 一类具阻尼IBq方程的Cauchy问题,O175.2
- 广义BBM-Burgers-Ginzburg-Landau方程的Cauchy问题,O175.2
- 一类四阶非线性波动方程的Cauchy问题,O175.2
- 四阶Schr(?)dinger方程的适定性及散射理论,O175
- 各向异性的函数空间,O177
- 若干非局部发展方程的解的存在性,O175
- 三维微极流体弱解的正则准则,O175
中图分类: > 数理科学和化学 > 物理学 > 光学 > 物理光学(波动光学) > 偏振与色散
© 2012 www.xueweilunwen.com
|