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关于子矩阵约束下矩阵方程问题的研究

作　者: 龚丽莎
导　师: 石钟慈；胡锡炎；张磊
学　校: 湖南大学
专　业: 应用数学
关键词: 约束矩阵方程问题 子矩阵约束问题 矩阵范数 最佳逼近解 最小二乘解
分类号: O151.21
类　型: 博士论文
年　份: 2006年
下　载: 215次
引　用: 16次
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内容摘要


约束矩阵方程问题就是在满足一定约束条件的矩阵集合中求矩阵方程的解的问题，它是近年来数值代数领域中研究和讨论的重要课题之一，在结构设计，系统识别，结构动力学，自动控制理论，振动理论等领域都具有广泛的应用。当约束矩阵方程问题中对矩阵集合的约束条件包含了子矩阵约束时，则称之为子矩阵约束下的矩阵方程问题，也即：给定矩阵A的一个子矩阵A0，再求关于A的某个约束矩阵方程的解的问题。本文所做的主要工作及相应的研究成果如下： 1．研究了子矩阵约束下矩阵方程AX=B的对称半正定解问题，得到了问题有解的充要条件及通解表达式，并顺便给出了相应逆特征值问题的有关结论。讨论了子矩阵约束下方程AX=B的对称、反对称最小二乘解及其最佳逼近问题。利用子空间理论和投影定理，将最小二乘问题转化为等式方程问题讨论，得到了通解表达式，并给出了其最佳逼近解以及求最佳逼近解的算法与算例。 2．提出并讨论了子矩阵约束下方程AX=B的Hermite-Hamilton、Hermite-反Hamilton、反Hermite-Hamilton以及反Hermite-反Hamilton矩阵解的问题。通过对这几种矩阵结构性质的分析，利用矩阵的奇异值分解和广义奇异值分解方法，得到了问题有解的充要条件及通解表达式，并讨论了相应的最佳逼近问题，给出了最佳逼近解的表达式。 3．针对2中的几种矩阵，研究了子矩阵约束下方程AX=B的最小二乘解的问题。首先采用1中方法将最小二乘问题转化为等式方程问题。然后利用这几种矩阵的结构性质和矩阵的奇异值分解、广义奇异值分解方法，得到了问题的通解表达式。并讨论了相应的最佳逼近问题，给出了最佳逼近解的表达式。 4．提出并讨论了子矩阵约束下方程XTAX=B的实矩阵、对称和反对称矩阵解的问题，得到了问题有解的充要条件及通解表达式，并讨论了相应的最佳逼近问题，给出了最佳逼近解的表达式以及求最佳逼近解的算法与算例。 5．研究了子矩阵约束下方程XTAX=B的实矩阵、对称和反对称矩阵最小二乘解问题。仍然先将最小二乘问题转化为等式方程问题，接着利用矩阵的奇异值分解、广义奇异值分解方法，得到了问题的通解表达式，并给出了最佳逼近解以及求最佳逼近解的算法与算例。 此博士论文得到了国家自然科学基金的资助（10171031，10571047）。 此博士论文用LAREX2ε软件打印。

全文目录


学位论文原创性声明和学位论文版权使用授权书  4-5
摘要  5-6
Abstract  6-10
第1章 绪言  10-17
  1.1 课题的研究意义与发展概况  10-13
  1.2 本文的主要工作及创新点  13-15
  1.3 本文所用记号  15-17
第2章 子矩阵约束下方程AX=B的对称半正定解及对称、反对称最小二乘解  17-31
  2.1 引言  17
  2.2 子矩阵约束下方程AX=B的对称半正定解  17-21
  2.3 子矩阵约束下方程AX=B的对称最小二乘解及其最佳逼近  21-27
  2.4 子矩阵约束下方程AX=B的反对称最小二乘解及其最佳逼近  27-31
第3章 子矩阵约束下方程AX=B的Hermite-Hamilton类矩阵解  31-54
  3.1 引言  31-32
  3.2 子矩阵约束下方程AX=B的Hermite-Hamilton解及其最佳逼近  32-39
  3.3 子矩阵约束下方程AX=B的Hermite-反Hamilton解及其最佳逼近  39-44
  3.4 子矩阵约束下方程AX=B的反Hermite-Hamilton解及其最佳逼近  44-48
  3.5 子矩阵约束下方程AX=B的反Hermite-反Hamilton解及其最佳逼近  48-54
第4章 子矩阵约束下方程AX=B的Hermite-Hamilton类矩阵最小二乘解  54-75
  4.1 引言  54
  4.2 子矩阵约束下方程AX=B的Hermite-Hamilton最小二乘解及其最佳逼近  54-62
  4.3 子矩阵约束下方程AX=B的Hermite-反Hamilton最小二乘解及其最佳逼近  62-67
  4.4 子矩阵约束下方程AX=B的反Hermite-Hamilton最小二乘解及其最佳逼近  67-71
  4.5 子矩阵约束下方程AX=B的反Hermite-反Hamilton最小二乘解及其最佳逼近  71-75
第5章 子矩阵约束下方程X~TAX=B的实矩阵解、对称解和反对称解  75-95
  5.1 引言  75
  5.2 子矩阵约束下方程X~TAX=B的实矩阵解及其最佳逼近  75-83
  5.3 子矩阵约束下方程X~TAX=B的对称解及其最佳逼近  83-90
  5.4 子矩阵约束下方程X~TAX=B的反对称解及其最佳逼近  90-95
第6章 子矩阵约束下方程X~TAX=B的实矩阵、对称和反对称最小二乘解  95-115
  6.1 引言  95
  6.2 子矩阵约束下方程X~TAX=B的实最小二乘解及其最佳逼近  95-103
  6.3 子矩阵约束下方程X~TAX=B的对称最小二乘解及其最佳逼近  103-110
  6.4 子矩阵约束下方程X~TAX=B的反对称最小二乘解及其最佳逼近  110-115
结论  115-117
参考文献  117-124
附录A (攻读学位期间所发表的学术论文目录)  124-125
致谢  125

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中图分类: > 数理科学和化学 > 数学 > 代数、数论、组合理论 > 代数方程论、线性代数 > 线性代数 > 矩阵论
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