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计数组合学中若干问题的研究

作　者: 孙怡东
导　师: 徐利治
学　校: 大连理工大学
专　业: 计算数学
关键词: p-Stirling数 k-矩阵分拆 k-矩阵排列差分恒等式行列式 PF性质 Dyck路 Catalan数生成树 Riordan阵 Schr(o ¨)der数广义Fibonacci多项式 Lueas数 MacMahon分拆技巧 Zeckendorf表示 Cauchy留数定理
分类号: O157
类　型: 博士论文
年　份: 2006年
下　载: 326次
引　用: 2次
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内容摘要

计数组合学是组合数学的重要研究方向之一,主要研究有限集合上的组合结构在给定条件下的计数问题。本文的主要工作包括以下几个方面: 在第一章,定义了两族广义p-Stirling数,将二项式系数和经典Stirling数统一起来。讨论广义p-Stirling数的组合意义,将一维的有限集合分拆和排列推广到p-维情形;得到p-Stifling数的封闭形式的差分恒等式;并研究p-Stirling矩阵的行列式性质。在第二章,研究一种简单而又重要的组合结构——Dyck路,这是近几年国内外的组合学者研究的一个热点课题。首先刻画了波谷严格递增的Dyck路与整数有序分拆之间的关系;然后利用双射、生成树以及Riordan阵的方法来对集合D_m的一些子集进行计数,得到一些以经典的序列如Catalan数、Narayana数、Motzkin数、Fibonacci数、Schr(?)der数以及第一类无符号Stirling数来计数的组合结构。特别地,给出两个新的Catalan结构,它们并没有出现在Stanley所给的关于Catalan结构的列表中。最后定义一种新的有禁排列模式,并讨论关联Dyck路与这种有禁排列之间的一些问题。在第三章,研究广义Fibonacci多项式的代数性质,包括广义Fibonacci多项式的系数组成的矩阵的性质;广义Fibonacci多项式系数的组合意义;以及广义Fibonacci多项式的普通型卷积求和公式。在第四章,基于MacMahon分拆技巧,将Sellers关于整数分拆的一个定理推广到更一般的情形(即将向量限制形式推广到矩阵限制形式),并给出了大量有益的应用,其中涉及到许多经典的序列如Bell数、Fibonacci数、Lucas数和Pell数等。利用二叉表示之间的变换来研究将整数N表示成不同Fibonacci数之和的表示法的公式R(N),得到了R(N)的新的递推关系式,通过这些关系,很容易计算R(N)在N很大时的值。

全文目录

0 前言  10-14
  0.1 引言  10-12
  0.2 论文内容概述  12-14
1 两类广义Stirling数  14-28
  1.1 p-Stirling数的组合解释及差分恒等式  15-21
    1.1.1 p-Stifling数的组合解释  15-17
    1.1.2 p-Stiding数的差分恒等式  17-21
  1.2 p-Stirling数的矩阵性质  21-25
  1.3 p-Stirling序列的PF性质  25-28
2 有禁Dyck路的计数  28-48
  2.1 Riordan阵和生成树  29-31
  2.2 波谷严格递增的Dyck路的计数  31-33
  2.3 峰严格递增的Dyck路的计数  33-41
    2.3.1 第一类Stirling分布  35-36
    2.3.2 集合D_m(D↑)和D_m(V↑)的计数  36-38
    2.3.3 集合D_m(V↗)和D_m(D↗)的计数  38
    2.3.4 集合D_m(D↗，V↗)和D_m(D↑，V↑)的计数  38-41
    2.3.5 集合D_m(D↑，V↗)和D_m(D↗，V↑)的计数  41
  2.4 关联Dyck路和有禁排列  41-48
3 广义Fibonacci多项式  48-64
  3.1 广义Fibonacci序列与数值三角阵  48-59
    3.1.1 广义Fibonacci和Lucas多项式  48-52
    3.1.2 广义Pell和Pell-Lucas多项式  52-55
    3.1.3 广义Jacobsthal和Jaco-Lucas多项式  55-59
  3.2 广义Fibonacci多项式的普通型卷积公式  59-64
4 有禁整数分拆  64-76
  4.1 Sellers定理的推广及其应用  64-69
    4.1.1 Sellers定理的推广  64-67
    4.1.2 应用  67-69
  4.2 整数以Fibonacci数为基的二叉表示的递推公式  69-76
    4.2.1 二叉表示的一个变换  70-72
    4.2.2 二叉表示的递推关系式  72-76
参考文献  76-84
读博期间发表、完成论文及获奖情况  84-85
创新点摘要  85-86
致谢  86-87
大连理工大学学位论文版权使用授权书  87

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