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数学分析的符号化进程

作　者: 崔亦华
导　师: 包芳勋
学　校: 山东大学
专　业: 基础数学
关键词: 数学分析数学符号微积分严格化
分类号: O17
类　型: 硕士论文
年　份: 2011年
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内容摘要

数学分析是我国高等学校数学专业的一门尤为重要的基础课,它是训练学生思维的一门重要课程,也是学生后继学习的必要课程。数学分析之所以能形成现在的庞大体系,是经过了2000余年的历史发展阶段,由无数的数学家孜孜以求历经千辛万苦而得的成果。尤其是自从牛顿、莱布尼茨发明微积分以来的三百多年间,包括数学分析在内的西方数学取得了巨大的进步,而其间的中国数学却处于相对落后的状态,这促使人们不得不去探求其中的原因。本文在研究和整理众多专家学者的研究文献的基础上,从数学符号入手,通过叙述数学符号在数学分析体系发展历史中的演变进程,并简要分析清末中国数学家们在引进西方数学时的做法,揭示了数学符号在数学发展过程中的巨大作用。全文共分十章。第一章从总体上简要介绍数学符号的四个发展阶段；第二章叙述了早期微积分思想的萌芽,重点介绍了穷竭法的发展过程以及阿基米德的应用,并简述了战国至清末极限思想在中国的发展情况；第三章简要介绍了17世纪微积分的创立背景,重点从积分学和微分学两个方面介绍了微积分创立的前期酝酿和准备工作；第四章介绍了牛顿和莱布尼茨的微积分工作。分析了牛顿研究微积分的三个阶段,细致分析了莱布尼茨的思想方法和许多微积分成果,并将二人的工作进行比较；第五章阐述函数的发展历程,介绍函数概念的五次扩张：解析式定义、图像法定义、科学函数的基本形式、初中定义、高中及大学定义等；第六章详细阐述了微积分创建前后的有关符号,包括微分和导数、积分、偏微分和偏导数、不定式和极限等概念的符号的来龙去脉,并介绍了微积分在清末传入中国的情况；第七章叙述数学家们在十八世纪的工作,包括弥补微积分漏洞的尝试和分析学各个分支的发展情况；第八章叙述十九世纪数学分析的严格化进程,包括波尔查诺等人的工作、柯西的极限论、魏尔斯特拉斯的语言系统、戴德金分割和皮亚诺的自然数公理等；第九章介绍数理逻辑符号在数学分析中的应用情况；第十章对数学分析符号化的过程进行了整体的回顾。通过研究数学分析符号化的整个过程,理清数学分析中的各个重要符号的来龙去脉,可以为探究数学符号在整个数学中的发展规律提供帮助,可以为数学分析的学习者和爱好者提供很好的学习材料,为高等院校数学教育工作者进行数学分析教学提供一定的借鉴意义。

全文目录

摘要  8-10
ABSTRACT  10-12
前言  12-14
第一章数学符号发展的几个阶段  14-17
  1.1 建立自然数和分数的符号体系  14-15
  1.2 建立代数的符号体系  15
  1.3 与微积分学有关的符号的发展  15-16
  1.4 集合论与数理逻辑符号在数学中的发展与渗透  16-17
第二章早期微积分思想的萌芽  17-20
第三章微积分的前期酝酿  20-26
  3.1 积分学的前期酝酿  21-24
  3.2 微分学的前期酝酿  24-26
第四章牛顿与莱布尼茨创建微积分的工作  26-33
  4.1 牛顿创建微积分的工作  26-28
  4.2 莱布尼茨创建微积分的工作  28-31
  4.3 牛顿与莱布尼茨工作的比较  31-33
第五章函数概念的发展历程  33-39
  5.1 函数概念的第一次扩张:解析式定义  33-34
  5.2 函数概念的第二次扩张:图像法定义  34-35
  5.3 函数概念的第三次扩张:出现科学函数的基本形式  35-36
  5.4 函数概念的第四次扩张:初中函数定义的来源  36-37
  5.5 函数概念的第五次扩张:高中及大学的函数定义  37-39
第六章微积分创建后的有关符号  39-48
  6.1 微积分名称的来源  39
  6.2 微分和导数的符号  39-40
  6.3 积分符号  40-42
  6.4 偏微分和偏导数符号  42
  6.5 定积分符号  42-43
  6.6 极限符号  43-45
  6.7 其它符号  45-46
  6.8 微积分在清末传入我国的情况  46-48
第七章十八世纪微积分的发展  48-57
  7.1 弥补微积分漏洞的尝试  48-51
  7.2 分析学的发展  51-57
第八章十九世纪数学分析的严格化  57-70
  8.1 波尔查诺等人的工作  57-58
  8.2 柯西建立极限论  58-62
  8.3 魏尔斯特拉斯的语言系统  62-64
  8.4 戴德金分割  64-68
  8.5 皮亚诺自然数公理  68-70
第九章数理逻辑符号的应用  70-72
第十章总结  72-74
附录: 数学分析的重要符号  74-75
参考文献  75-77
致谢  77-78
攻读学位期间的主要研究成果  78-79
学位论文评阅及答辩情况表  79

数学分析的符号化进程

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