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Pointed Hopf代数的表示

作　者: 王振
导　师: 陈惠香
学　校: 扬州大学
专　业: 代数学
关键词: pointed Hopf代数量子化包络代数半量子群代数表示分类
分类号: O152.5
类　型: 博士论文
年　份: 2008年
下　载: 52次
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内容摘要

量子化包络代数及其有限维商小量子群是一类非常重要的pointed Hopf代数。对其的研究极大地推动了整个Hopf代数理论的发展。最近，利用提升方法，Andruskiewitsch与Schneider对余根为交换群代数的（有限维）pointed Hopf代数进行了分类，发现了许多新的Hopf代数的例子（[2，3]）。这些Hopf代数可以看作是量子化包络代数及小量子群自然地推广。进一步地研究这些Hopf代数的性质和表示就成为人们非常关注且急于解决的一个问题。本论文讨论了三类pointed Hopf代数：Taft代数的量子偶；半量子群；对应A₂×A₂型Cartan矩阵的pointed Hopf代数。这些Hopf代数都包含在Andruskiewitsch与Schneider讨论的Hopf代数中。我们的许多结果也可推广到更一般的类型，从而为研究一般的余根为交换群代数的pointed Hopf代数上的表示提供了思路与方法。首先，给定一个Taft代数A_n，Chen在文献[8，9，10，11]中刻画了它的量子偶H_n（p，q）的结构并给出H_n（p，q）上所有有限维表示。在本文第二章中我们讨论了H_n（p，q）上的无限维表示，给出了所有不可分解代数紧模，从而在初等等价意义下对H_n（p，q）上的表示进行了分类。其次，对一个半单李代数g，我们取量子化包络代数U_q（g）的Borel子代数为半量子群U^≥0。在第三章中我们证明了U^≥0不是拟余交换的，因此其左模范畴不是一个辫子monoidal范畴．当q是单位根时，我们给出了U^≥0的一个有限维商Hopf代数u^≥0是拟余交换的充要条件。在U^≥0的权模范畴中，我们描述了所有单对象和投射对象及其张量积分解。利用Radford的方法，我们给出了所有单Yetter-Drinfeld权模，这等价于给出了量子偶D(U^≥0)上的所有单权模，从而验证了Hu和Zhang给出的关于D(U^≥0)与U_q（g）的表示之间关系的定理（[25]）。这也为进一步研究一般情况(即Andruskiewitsch与Schneider构造的那些扭等价于D(U^≥0)的pointed Hopf代数)的表示提供了一种思路。然后，从Andruskiewitsch与Schneider给出的分类结果（[2，3]），我们选择了对应Cartan矩阵为A₂×A₂型的pointed Hopf代数进行讨论。根据linking参数λ不同取法，有三种情况，对应的Hopf代数分别记为U（D，λ₁），U（D，λ₂），U（D，λ₃）。其中U（D，λ₁）是个半量子群而U（D，λ₃）则是sl（3）的量子化包络代数。因此我们在第四章中仪对U（D，λ₂）展开讨论。我们的结果表明这类Hopf代数介于第一和第三种情况之间，其表示与半量子群和量子化包络代数的表示有着紧密联系。在q是单位根的情形，我们讨论了其有限维商Hopf代数。特别地，我们得到一个计算幂等元的方程组，通过解方程组给出了正则模的不可分解投射模分解，这个方法对于讨论U_q（sl（2））的小量子群也同样适应。在论文的最后部分，我们讨论了Hopf代数U（D，λ）与其某些子Hopf代数之间的联系．我们在U（D，λ）的模范畴与这些子Hopf代数的模范畴之间建立了若干函子，由此讨论它们表示的关系。对一些经典pointed Hopf代数，利用我们的结果，可以得到这些pointed Hopf代数的推广形式上的表示．这包含了文[19]与[27]中的部分结果．

全文目录

中文摘要  5-7
Abstract  7-9
Table of Contents  9-11
Chapter 1 Introduction and Preliminaries  11-31
  1.1 Hopf algebras and their modules  13-23
  1.2 The quantized enveloping algebras and their representations  23-27
  1.3 Classification of pointed Hopf algebras  27-31
Chapter 2 Generic modules over a class of Drinfeld's quantum doubles  31-55
  2.1 Preliminaries  31-43
    2.1.1 Taft algebras  31-32
    2.1.2 Drinfeld doubles of Taft's algebras  32
    2.1.3 Blocks of H_nt(1,q)  32-34
    2.1.4 Modules over the trivial extensions of hereditary algebra  34-38
    2.1.5 Algebraically compact modules  38-41
    2.1.6 Quiver presentation of B  41-43
  2.2 The main results  43-55
    2.2.1 Sweedler's Hopf algebra H_4  43
    2.2.2 Drinfeld double of H_4  43-44
    2.2.3 Finite dimensional modules over D(H_4)  44-48
    2.2.4 Infinite dimensional modules over D(H_4)  48-55
Chapter 3 Half Quantum Groups  55-73
  3.1 The structure of U~(≥0)  56-61
  3.2 The representation of U~(≥0)  61-73
    3.2.1 The simple modules  61-62
    3.2.2 The Verma modules  62-70
    3.2.3 The comodules and the Yetter-Drinfel'd modules  70-73
Chapter 4 Representation Theory of a Class of Hopf Algebras  73-97
  4.1 Hopf algebra U(D,λ_2)  75-86
    4.1.1 The properties of U  75-77
    4.1.2 Representations of U(D, λ_2)  77-86
  4.2 The case q is a root of unit  86-97
    4.2.1 The finite dimensional quotient Hopf algebra u  86-90
    4.2.2 The representation theory over u  90-97
Chapter5 The Relationship Between Γ and U(D,λ)  97-107
  5.1 The case Γ = Γ_1(?)Γ_2  98-102
  5.2 The case Γ_1(?)Γ with rankΓ =rankΓ_1  102-107
Bibliography  107-112
Publications  112-113
Acknowledgements  113-114

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