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求解非线性不适定问题的几类迭代方法

作　者: 康传刚
导　师: 贺国强
学　校: 上海大学
专　业: 计算数学
关键词: 非线性不适定问题非线性反问题 Newton-Tikhonov方法 Levenberg-Marquardt方法混合Newton-Tikhonov方法非线性隐式迭代法 Bakushinskii准则 Hanke准则自适应选取准则热传导反问题扩散方程反问题参数识别问题
分类号: O241.7
类　型: 博士论文
年　份: 2009年
下　载: 348次
引　用: 3次
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内容摘要

本文主要研究求解非线性不适定问题和反问题。在物理学、力学和工程技术领域存在大量的非线性不适定问题,比如参数识别问题,逆散射问题,逆位势问题以及第一类Fredholm积分方程的求解问题等。目前,线性不适定问题的研究相对比较完善,在许多应用领域取得了良好的效果;但非线性不适定问题由于其本身的特殊性和复杂性在理论和实践方面还有许多有待完善的地方。因此,对非线性不适定问题的研究既有理论意义又有现实意义。对非线性不适定问题而言,线性不适定问题的求解方法和理论可供借鉴的地方不多,这无疑增加了非线性不适定问题研究的难度。又因为非线性不适定问题的特殊性,每种求解非线性不适定问题的方法都有其自身的适用范围,这使得人们只能根据问题本身的特点设计合适的方法,并根据特定的条件给出方法的理论分析。目前,人们通常采用两种途径求解不适定问题:一个是变分法,一个是迭代法。在具体研究中,人们主要关注算法设计和正则化参数选取两个方面的问题。本文主要研究迭代法求解非线性不适定问题,围绕算法设计和正则化参数选取展开我们的工作。由于求解非线性不适定问题的计算量可能会很大,在某种程度上影响了求解方法的应用。在本论文第一部分,我们提出了混合Newton-Tikhonov迭代方法,它与经典的Newton-Tikhonov方法相比能充分利用已获得的信息,有效地减少总的计算量。文中我们首先对于固定p(n)≡p简化步的混合Newton-Tikhonov方法考虑了正则化参数αn,k的两种选取策略,即Bakushinskii方法和Hanke准则,并对后一种准则给出了方法的收敛性与稳定性。数值试验表明对应的新方法都能有效节省计算量。接下来,我们进一步改进固定简化步的混合Newton-Tikhonov方法,提出了自适应选取简化迭代步数的混合Newton-Tikhonov方法,成功分析了该方法的收敛性和稳定性,并从数值上验证了方法的有效性。第二部分研究了非线性隐式迭代法控制参数αk的选取问题,基于Hanke准则给出了非线性隐式迭代法的收敛性和稳定性分析,改进了现有方法关于参数αk必须取一个充分大的正数的限制。从泛函优化的角度设计了几个求解非线性隐式迭代法的算法,从数值试验部分我们看到所给算法都是有效的。对非线性Tikhonov正则化方法的一个改进是由柳建军在其博士论文中首先引进和讨论的。在论文的最后部分主要讨论了Tikhonov泛函的一种替代泛函迭代法及其有关的变形Landweber迭代法,给出了替代泛函中的控制参数αk的两种选取方法,改进了原有替代泛函迭代法对参数选取的限制,数值试验验证了对参数选取方法推广的可行性和有效性。

全文目录

摘要  6-8
Abstract  8-12
第一章前言  12-16
第二章基本知识  16-28
  2.1 线性不适定问题的正则化方法  16-20
  2.2 非线性不适定问题的正则化方法  20-24
  2.3 正则化参数选取策略  24-28
第三章具有固定简化步的混合Newton-Tikhonov迭代法  28-58
  3.1 混合Newon-Tikhonov迭代法的定义  28-30
  3.2 通过Bakushinskii准则选取内层控制参数α_(n,k)  30-38
    3.2.1 Bakushinskii准则  30-31
    3.2.2 数值试验  31-38
  3.3 通过Hanke准则后验选取内层控制参数α_(n,k)  38-57
    3.3.1 迭代序列的单调性  38-43
    3.3.2 迭代序列的收敛性  43-49
    3.3.3 迭代序列的稳定性  49-52
    3.3.4 数值试验  52-57
  3.4 本章小结  57-58
第四章自适应的混合Newton-Tikhonov迭代法  58-81
  4.1 自适应混合Newton-Tikhonov迭代法的定义  58-59
  4.2 通过Bakushinskii准则选取内层控制参数α_(n,k)  59-64
    4.2.1 Bakushinskii准则  59
    4.2.2 数值试验  59-64
  4.3 通过Hanke准则后验选取内层控制参数α_(n,k)  64-80
    4.3.1 迭代误差的单调性  64-67
    4.3.2 迭代序列的收敛性  67-70
    4.3.3 迭代序列的稳定性  70-76
    4.3.4 数值试验  76-80
  4.4 本章小结  80-81
第五章求解非线性不适定问题的隐式迭代法  81-105
  5.1 非线性不适定问题的隐式迭代法  81-84
  5.2 非线性隐式迭代法的收敛性分析  84-96
    5.2.1 非线性隐式迭代法迭代序列的单调性  84-91
    5.2.2 非线性隐式迭代法的收敛性  91-94
    5.2.3 非线性隐式迭代法的稳定性  94-96
  5.3 非线性隐式迭代法的实现方法和途径  96-98
  5.4 数值试验  98-104
  5.5 本章小结  104-105
第六章替代泛函方法的一种改进和非线性Landweber迭代法  105-126
  6.1 一种Tikhonov泛函的替代形式  105-108
  6.2 替代泛函中控制参数选取方法  108-116
    6.2.1 引言  108-109
    6.2.2 控制参数的选取方法  109-111
    6.2.3 数值试验  111-116
  6.3 非线性Landweber迭代法  116-125
    6.3.1 引言  116-117
    6.3.2 迭代序列的单调性  117-120
    6.3.3 迭代序列的收敛性  120-121
    6.3.4 迭代序列的稳定性  121-122
    6.3.5 数值试验  122-125
  6.4 本章小结  125-126
参考文献  126-134
攻读博士学位期间所完成的论文  134-135
致谢  135

求解非线性不适定问题的几类迭代方法

内容摘要

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