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相依更新风险模型中的渐近尾行为

作　者: 李津竹
导　师: 吴荣；唐启鹤
学　校: 南开大学
专　业: 概率论与数理统计
关键词: 渐近常利率相依折现累计索赔广义正规变化金融风险重尾分布保险风险 lévy过程正规变化更新风险模型破产概立随机收益强正规变化次指数性尾概率一致性
分类号: F840
类　型: 博士论文
年　份: 2010年
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内容摘要

对于集体风险理论的系统研究最早可追溯到Lundberg1903年完成的博士论文,在其中他首次提出了古典风险模型的概念。在这一经典模型中,保险公司的索赔具有随机的索赔额,索赔发生的时间间隔服从指数分布。另外,该模型还假设索赔额和时间间隔各自构成一列独立同分布的随机变量,而且这两列随机变量是相互独立的。因此保险公司的累计索赔(风险)过程是一个复合泊松过程。Cramer早期对此模型的发展和完善作出了卓越的贡献,所以此模型又被称为Cramer-Lundberg风险模型。上世纪中叶,Sparre Andersen(1957)提出了更新风险模型,以此作为复合泊松模型的自然推广。在这一更广泛的风险模型中,索赔发生的时间间隔独立同分布于任意的分布函数(不一定是指数分布)。结合一些其它的模型因子(例如初始资产,保费收入等)和经济因子(例如利率,分红,赋税,投资回报等),更新风险模型可以很好的刻一非寿险业务,因此它一直以来被大量学者广泛的研究。但是,更新模型距离实际情况仍然相去甚远。主要原因在于,虽然更新模型已经放宽了对索赔间隔分布的要求,但它依然保留了很多不切实际的假设,比如索赔额的同分布性,索赔额之间的独立性,以及索赔额与其等待时间的独立性,其中对于各种随机变量之间的独立性假设尤为不现实。受更新模型这些缺陷的启发,这篇博士论文主要致力于讨论几类带有相依结构的更新风险模型。我们研究的相依结构既包括索赔额之间的相依,又包括索赔额与其等待时间的相依。为书写简便和避免混淆,我们将这些推广的更新风险模型统称为“非标准”更新风险模型,而将原始的更新风险模型叫做“标准”更新风险模型。在带有相依结构的风险模型下,许多传统的处理方法(比如一些依赖独立平稳增量的方法)不再有效,所以在一般情况下几乎不可能对此类模型所涉及的问题得到精确结果。因此,我们要利用渐近尾概率的方法进行我们的研究。粗略来说,我们假设模型中的随机变量是重尾的,并设法得到我们感兴趣的随机过程的尾概率的精确渐近式,然后我们利用所得到的渐近公式,可以进一步研究一些重要的保险量,比如有限时间和无限时间的破产概率等。在一些必要的符号说明和约定之后,我们在论文的第一章给出论文主体的纲要,从中读者可以了解到后续章节的一些要点。第二章用于详细介绍一些重要的分布族及其基本性质。虽然这一章主要集中于重尾情况,但一些有紧密关联的轻尾分布族也被考虑在内。我们的讨论基本覆盖了所有重尾分布族,包括长尾分布族,次指数分布族,正规变化分布族等等。其中,次指数分布族被公认为是一类足够丰富的分布族,它基本涵盖了风险理论中所有常用的分布,比如Pareto分布,对数正态分布,重尾Weibull分布等等。作为次指数分布族的一个重要子族,正规变化分布族也值得深入的探讨,不仅因为它依然包含了很多流行的重尾分布(如Pareto分布,Burr分布,对数gamma分布,以及Student’s t-分布),而且还因为它本身所具有的非常好的数学性质,这些性质通常能帮助我们得到很简洁明了的渐近公式。除了具体的原始定义之外,本章中我们还会给出各类分布族的一些基本而重要的性质。这些性质不仅有自身的理论价值,而且还将被后续章节频繁引用。在第三章中,我们将探讨一类非标准更新风险模型的折现累计索赔的渐近尾行为。本章中,我们考虑的更新模型带有常数利率,索赔额服从相同的分布,但索赔额之间并不是完全独立的。我们假设索赔额分布属于广义正规变化族(ERV),并且索赔额具有两两渐近独立性(也即任意两个索赔额的联合分布的尾相对于边际分布的尾在渐近意义下是可以忽略的)。在这些假设下,我们得到了一个精确的渐近公式,此公式对所有固定的时间水平(包括无穷)都是成立的。进一步,我们利用此公式研究相应的破产概率,并证明了有限时间和无限时间破产概率和对应时间下的折现累计索赔的尾概率具有相同的渐近行为。不同于第三章,第四章所研究的非标准更新模型除了带有常数利率外,每个索赔额与其等待时间具有相依关系。受最近Asimit和Badeseu 2010年发表的论文的启发,我们在每个索赔额与其等待时间之间引入一类回归型的相依结构。可以验证,这种相依结构被许多常用的二元copula所满足。我们致力于这种相依结构对折现累计索赔的渐近尾行为的影响。在索赔额分布是次指数分布的假设下,我们得到了一个对时间具有局部一致性的渐近公式,它在形式上成功的体现出相依结构的影响。当索赔额分布被限制在ERV族中时,我们可以证明所得到的渐近公式是整体一致的。如果保费率也是常数,那么我们的结果可以直接用于估计相应的有限时间和无限时间破产概率。值得一提的是,本章中所考虑的相依结构是一种全新的相依结构,而且它兼具实用性和数学上的可操作性。Asimit和Badeseu在其2010年的文章中首次提出此类相依结构,但他们只是在复合泊松模型的框架下做了些很简单的讨论。我们将它引入一般的更新模型,并对改进后模型的渐近尾行为进行了深入研究。另外,证明所得渐近公式对时间的一致性是本章中一项具有挑战性的工作,我们用了很多精细的技巧来实现它。第五章可以看作是第四章的一个延伸,因为本章中考虑的非标准更新模型与第四章考虑的具有相同类型的相依结构。但是,与前面一直考虑常数利率下的折现累计索赔不同,本章中我们研究累计索赔在随机收益下的折现值。具体来说,我们允许保险公司投资金融资产,比如无风险债券和有风险的各种股票,而投资组合的价值过程由一个几何Levy过程描述。在索赔额分布属于ERV族的前提下,通过对Levy过程加一个限制条件,我们得到了一个关于累计索赔随机折现的尾概率的渐近公式,此公式对所有时间水平具有一致性,我们还进一步证明,此模型下的有限时间和无限时间破产概率也满足这个渐近公式。本章的原始灵感来自唐启鹤等人2010年的最新工作,他们在索赔额分布属于正规变化族的前提下,对标准更新模型(没有任何相依结构)讨论了相似的问题。因此,我们的工作将他们的结果推广到了具有ERV型索赔分布的非标准相依更新风险模型中。与前面几章不同,在第六章中我们将做一些文献中很少有人考虑过的探索性的工作。考虑一个在随机经济环境中参与风险投资的保险公司,这样的保险公司暴露在两类风险之下:第一类是所谓的保险风险,主要由传统的保险业务引起；第二类是金融风险,由通货膨胀、股市震荡等随机经济事件导致。我们致力于研究两类风险的相互作用关系。保险公司的资产过程由一个离散的风险过程来刻画,其中保险风险表示为一段时期内公司的累计净损失,也即总索赔与总保费的差；金融风险表示为随机投资收益率的倒数。我们通过研究破产概率和累计风险量的渐近尾行为来进行风险分析。在两类风险没有相互控制关系的情况下,我们给出了一个统一的处理方法。假设两类风险的最大值服从强正规变化分布,我们对有限时间及无限时间得到了一些精确的渐近公式,而这些公式的形式都是两类风险的尾概率的线性组合。

全文目录

Abstract  7-11
摘要  11-16
1 Introduction  16-22
  1.1 Notation and Conventions  16-19
  1.2 Outline of the Thesis  19-22
2 Distribution Classes  22-32
  2.1 Subexponential Class  22-25
  2.2 Regular Variation Class  25-28
  2.3 Other Distribution Classes  28-32
3 Asymptotic Tail Behavior in a Renewal Risk Model with Dependent Claim Sizes  32-44
  3.1 Model and Introduction  32-34
  3.2 Main Results  34-36
  3.3 Proofs  36-44
    3.3.1 Lemma  36-37
    3.3.2 Proof of Theorem 3.1  37-41
    3.3.3 Proof of Corollary 3.1  41-44
4 Asymptotic Tail Behavior in a Time-dependent Renewal Risk Model  44-70
  4.1 Introduction  44-47
  4.2 Main Results  47-50
  4.3 Verification of the Assumptions on Dependence  50-53
  4.4 Proof of Theorem 4.1  53-63
    4.4.1 Lemmas  53-61
    4.4.2 Proof of Theorem 4.1  61-63
  4.5 Proof of Theorem 4.2  63-70
    4.5.1 Lemmas  63-66
    4.5.2 Proof of Theorem 4.2  66-67
    4.5.3 Proof of Corollary 4.1  67-70
5 Asymptotic Tail Behavior in a Time-dependent Renewal Risk Model with Stochastic Return  70-92
  5.1 Model and Introduction  70-72
  5.2 Main Results  72-73
  5.3 Proof of Theorem 5.1  73-86
    5.3.1 Lemmas  73-84
    5.3.2 Proof of Theorem 5.1  84-86
    5.3.3 Proof of Corollary 5.1  86
  5.4 Proof of Theorem 5.2  86-92
    5.4.1 Lemmas  86-87
    5.4.2 Proof of Theorem 5.2  87-92
6 Interplay of Insurance Risk and Financial Risk in a Discrete-time Model with Regular Variation  92-110
  6.1 Introduction  92-96
  6.2 Main Result  96-98
  6.3 Lemmas  98-106
  6.4 Proof of Theorem 6.1  106-110
    6.4.1 Proof of Theorem 6.1(a)  106-107
    6.4.2 Proof of Theorem 6.1(b)  107
    6.4.3 Proof of Theorem 6.1(c)  107-110
References  110-120
Acknowledgements  120-122
Resume and Publications  122-123

相依更新风险模型中的渐近尾行为

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