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Schr（？）dinger方程的数值解法

作　者: 邵和助
导　师: 汪仲诚
学　校: 上海大学
专　业: 无线电物理
关键词: Schr(o ¨)dinger方程 有限差分法 ObrechkofF方法 P稳定 指数拟合方法 共振态 多精度 时间演化 Padé近似 LU分解
分类号: O241.82
类　型: 博士论文
年　份: 2010年
下　载: 71次
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内容摘要


本文致力于数值求解Schrodinger方程的差分方法的研究,主要包含针对一维Schrodinger方程的Obrechkoff方法和针对含时Schrodinger方程的时间空间离散方法两部分内容。第一部分是应用Obrechkoff方法数值求解一维Schrodinger方程,在第二章中研究了用Obrechkoff单步法来离散一维Schrodinger方程,利用Mathematica的多精度计算软件包来求得任意精度的数值解,着重探讨了指数拟合方法对于求解Schrodinger方程的束缚态和共振态本征值的精度的影响,数值实验表明对于高能级的共振态,指数拟合Obrechkoff单步法比不拟合的情形在精度和效率上都有很大的提高。第三章中本文提出一种基于Obrechkoff单步法组合的P稳定两步法,其特点是在差分格式中,加入连续高阶微商,而这种结构仍能保持P稳定性,同M. Van Daele和G. Vanden Berghe的方法相比,当两种方法在使用相同的最高阶的微商时,本文提出的P稳定两步法在精度上很大地超越了他们的方法。在第四章中,本文继续第三章关于单步法组合成为两步法的讨论,得到了更高精度的两步方法,进而对其稳定性进行了研究,提出了一种普遍的适用于两步法的相位延迟(phase-lag)公式,对这种新的两步格式进行三角函数拟合得到了相位延迟阶数为无穷的三角函数拟合P稳定两步法,本文应用这种两步法求解Schrodinger方程的数值解,显示出它的精度和效率的优越性。在第二部分,本文关注含时Schrodinger方程的数值解法。文中改进了其他小组特别是W. van Dijk和F. M. Toyama对于含时Schrodinger方程的空间离散方法,在他们的结构上充分加入离散各点波函数的两阶微商,从而将方法的精度从O(h2l)提高到O(h4l),同时采用Pade近似来计算时间演化算符,从而在时间演化算符计算方面可以达到相当高的精度。本文用LU分解来求解对时空离散后得到的含(2l+1)对角矩阵的矩阵方程,从而有效的得到高精度的数值解。

全文目录


摘要  9-10
ABSTRACT  10-12
目录  12-15
图目录  15-20
表目录  20-21
第一章 引言  21-39
  1.1 动机  21-22
  1.2 Schrodinger方程简介  22-24
  1.3 差分方法回顾  24-28
  1.4 本文内容  28-29
  参考文献  29-39
第二章 Obrechkoff单步法  39-75
  2.1 引言  39-42
  2.2 差分格式  42-44
  2.3 稳定性分析  44-46
  2.4 指数和三角函数拟合Obrechkoff单步法  46-57
  2.5 一维Schrodinger方程的数值解  57-72
  2.6 本章小结  72-73
  参考文献  73-75
第三章 P稳定Obrechkoff两步法  75-113
  3.1 引言  75-77
  3.2 差分格式  77-78
  3.3 稳定性分析  78-79
  3.4 应用于Schrodinger方程  79-88
    3.4.1 Woods-Saxon势  81-83
    3.4.2 Morse势  83-85
    3.4.3 变形的Poschl-Teller势  85-88
  3.5 应用于其他两阶微分方程  88-108
    3.5.1 Stiefel-Betis问题  88-89
    3.5.2 Duffing方程  89-108
  3.6 本章小结  108-111
  参考文献  111-113
第四章 三角函数拟合Obrechkoff两步法  113-129
  4.1 引言  113-115
  4.2 差分格式  115-119
  4.3 稳定性分析  119-120
  4.4 三角函数拟合P稳定两步法  120-122
  4.5 应用于Schrodinger方程  122-125
    4.5.1 Woods-Saxon势  123-125
    4.5.2 变形的Poschl-Teller势  125
  4.6 本章小结  125-127
  参考文献  127-129
第五章 含时Schrodinger方程的数值解  129-145
  5.1 引言  129-130
  5.2 空间时间离散方法描述  130-133
    5.2.1 CN方法  130-131
    5.2.2 Pade近似方法  131-132
    5.2.3 DT方法  132
    5.2.4 新的空间离散方法  132-133
  5.3 LU分解  133-135
  5.4 边界条件  135
  5.5 数值例子  135-140
    5.5.1 波包传播  138
    5.5.2 相干波包的振荡  138-140
  5.6 误差分析  140-141
  5.7 本章小结  141-143
  参考文献  143-145
第六章 总结和展望  145-147
  6.1 本文已经完成的工作  145
  6.2 后继工作与展望  145-147
附录A 程序:Obrechkoff单步法  147-153
  A.1 单步法  147-148
  A.2 Woods-Saxon势束缚态本征值  148-151
  A.3 Poschl-Teller势束缚态本征值  151-153
附录B 程序:Obrechkoff两步法  153-163
  B.1 两步法  153-158
  B.2 Woods-Saxon势束缚态本征值  158-163
附录C 程序:Duffing方程近似解析解  163-167
  C.1 Duffing方程的高精度近似解析解  163-167
附录D 程序:TDSE数值解  167-173
  D.1 含时Schrodinger方程的数值求解  167-173
作者在攻读博士学位期间已发表的论文  173-175
作者在攻读博士学位期间所参与的项目  175-177
后记  177-180

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中图分类: > 数理科学和化学 > 数学 > 计算数学 > 数值分析 > 微分方程、积分方程的数值解法 > 偏微分方程的数值解法
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