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两类非线性问题的计算方法研究

作　者: 白颉
导　师: 高兴宝
学　校: 陕西师范大学
专　业: 计算数学
关键词: 光滑函数非线性性互补问题牛顿法神经网络收敛性稳定性二阶锥规划
分类号: O221.2
类　型: 硕士论文
年　份: 2007年
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内容摘要

非线性互补问题（NCP）与二阶锥规划（SOCP）问题是两类重要的优化问题．它们广泛出现于科学与工程技术领域，因此研究它们的求解方法具有一定的理论价值与现实意义．互补问题与非线性规划、极大极小、对策论、不动点理论、变分不等式等数学分支紧密联系，并广泛应用于力学、经济、交通等领域，因此受到广泛关注，并在其理论与算法方面取得了丰硕成果．其中，通过构造光滑函数，用光滑牛顿法求解NCP是近年来的研究热点之一．本文第二章考虑了一类P₀—映射NCP（F）．首先，引入一个新的光滑函数，将NCP（F）等价转化为一个光滑方程组，并建立了求解它的光滑牛顿法．其次，证明了由该算法产生的无穷序列的任一聚点均为原问题的解，并且当NCP（F）的解集非空有界时，迭代序列有界．然后，当NCP（F）有一个局部惟一解且满足一个非奇异条件时，证明了该算法具有局部超线性收敛性和二次收敛性．最后，用五个例子的数值实验说明了该算法可行且有效．与已有方法相比，本文提出的方法不需要假设搜索方向有界，不需要严格互补条件，而且通过特殊的设计牛顿方程及线性搜索步，可以控制光滑参数以合适的速度收敛．SOCP问题是一类重要的凸优化问题．它不但广泛应用于工程技术领域，而且许多其它的优化问题可以转化为它，因此其求解方法一直是人们关注的焦点问题．目前，有许多方法可以求解SOCP问题，但它们基本上属于传统的迭代法．由于计算时间依赖问题的规模、结构以及所采用的算法，因而很难满足实时性要求．与传统数值方法相比，由于内在的并行分布处理信息的特点及电路实现的潜能，神经网络具有许多计算上的优势和实时性的应用．自提出Hopfield神经网络，并将其成功应用于优化问题后，用神经网络求解优化问题得到了相当深入的研究，并取得了许多重要的成果．本文第三章考虑了一类SOCP问题．利用两个光滑函数分别将二阶锥约束转化为光滑的凸约束，从而将SOCP问题近似转化为两类凸优化问题，并根据射影理论建立了求解它们的两个新神经网络．然后运用Lyapunov稳定性理论和LaSalle不变原理证明了提出的神经网络在适当的条件下是Lyapunov稳定的，且能以任意精度收敛到原问题的解．最后数值实验表明这些网络不仅可行，而且有效．

全文目录

摘要  3-5
Abstract  5-8
第一章绪论  8-18
  1.1 互补问题  8-13
    1.1.1 互补问题的数学模型  8-11
    1.1.2 互补问题的发展及研究现状  11-13
  1.2 二阶锥规划问题  13-14
  1.3 预备知识  14-17
  1.4 本文工作  17-18
第二章求解非线性互补问题的光滑化牛顿法的收敛性  18-38
  2.1 引言  18-19
  2.2 一个新的光滑函数及其性质  19-23
  2.3 光滑牛顿法  23-26
  2.4 收敛性分析  26-34
  2.5 数值实验  34-37
  2.6 本章结论  37-38
第三章求解二阶锥规划问题的神经网络及应用  38-50
  3.1 引言  38-39
  3.2 神经网络  39-43
  3.3 稳定性分析  43
  3.4 数值模拟  43-49
  3.5 本章结论  49-50
总结  50-52
参考文献  52-56
致谢  56-58
攻读硕士学位期间的研究成果  58

两类非线性问题的计算方法研究

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