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正则Potts磁系统的元胞自动机模型及其应用

作　者: 李永鹏
导　师: 张波涛
学　校: 解放军信息工程大学
专　业: 光学工程
关键词: Ising模型 Potts模型元胞自动机相变数据聚类
分类号: TP301.1
类　型: 硕士论文
年　份: 2009年
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内容摘要

Potts模型因其包含丰富的物理内容,一直是物理学界广泛关注的一个研究课题。随着不同维度和不同态数目的Potts模型相结构的深入揭示,它也成为相变理论研究中不同研究方法的重要测试基础。到目前为止,仅有一维和二维Ising模型（等价于二态Potts模型）可以严格求解,对于二维以上Ising模型和多态Potts模型,大多采用重整化群及变分累积展开等方法进行分析,但随着系统维度的增加和态数目的增大,这些理论分析的难度迅速增大。此时,蒙特卡洛模拟成为一种重要的研究方法。蒙特卡洛方法是对系统的平衡态样本进行抽样试验,从而得出所需物理量的统计平均值。利用蒙特卡洛方法研究Potts模型,人们对平衡态Potts系统的相结构有了深入的了解。除了平衡态Potts系统的性质以外,Potts系统的动力学性质也是人们感兴趣的一个课题,通过研究系统的动力学行为,可以对系统的动力学特性以及由非平衡走向平衡的途径有所了解。元胞自动机是用统一的局域演化规则来控制体系状态演化的动力学模型,是研究系统动力学行为的一个有力工具。目前已有关于微正则Potts系统（系统与外界无能量交换）的元胞自动机模拟研究。本文提出一种正则Potts磁系统（系统与外界有能量交换）元胞自动机模型,具体做法是:给出元胞空间中每个元胞可能的状态值q,定义出元胞的“近邻”,制定合理的局域演化规则,让磁子间的耦合作用和热运动参与到演化过程中,这样,系统就会按照统一的演化规则进行自组织。为了使模型更具一般性,我们以非规则随机分布的正则Potts磁系统(磁子间距d_ij,耦合常数J_ij及近邻数均不确定)为基础来描述模型,并给出模型的实现细节和算法。为了检验模型的可行性,我们考虑规则格阵上的Potts系统(d_ij、J_ij及近邻数均为常数),画出了不同形状格阵上的Potts系统的动力学相图,展示了不同时刻磁子空间构型的演化,并与前人研究的结论作了对照。另外,受到Eytan Domany等人关于不规则Potts模型用于数据聚类研究的启发,我们将Potts磁系统的元胞自动机模型应用于数据聚类:将待测数据点看成是Potts系统的自旋磁子并对其赋值,这样整个数据集就可以看成是一个元胞空间,定义数据点间的距离、近邻点和数据点间的耦合作用;数据点在一定的初始条件下,按照制定的同一演化规则进行演变,这样,自旋磁子的演化过程就可看成数据的自动聚类过程。整个聚类过程不需要对待测数据集的数据结构做任何假设。通过对两组真实数据的测试,证明了该自动聚类方法具有不需要对待测数据集的数据结构进行推测,适用于高维数据集和具有较高聚类精度的特点,得到了理想的结果,达到了预期的目的。

全文目录

摘要  6-7
Abstract  7-9
绪论  9-12
第一章相变与统计物理概览  12-18
  1.1 相变的基本概念  12-13
    1.1.1 相变与临界现象  12-13
    1.1.2 序参量  13
    1.1.3 涨落与关联函数  13
  1.2 统计物理概览  13-18
    1.2.1 基本假设  14
    1.2.2 配分函数  14
    1.2.3 物理量的统计平均值  14-15
    1.2.4 正则系综  15-16
    1.2.5 微正则系综和巨正则系综  16-18
第二章 Potts磁系统  18-25
  2.1 Potts模型  18-21
    2.1.1 格阵  18-19
    2.1.2 Ising模型  19
    2.1.3 Potts模型  19-21
  2.2 Potts磁系统和蒙特卡洛模拟结果  21-25
    2.2.1 Potts磁系统理论  21-22
    2.2.2 蒙特卡洛模拟：Swendsen-Wang方法  22-23
    2.2.3 Potts磁系统的相结构  23-25
第三章元胞自动机  25-31
  3.1 元胞自动机的发展历史、概念和分类  25-30
    3.1.1 元胞自动机的发展历史  25-26
    3.1.2 元胞自动机的基本概念  26-29
    3.1.3 元胞自动机的分类  29-30
  3.2 微正则Potts系统的元胞自动机模型——Q2R规则  30-31
第四章正则Potts系统的元胞自动机模型  31-40
  4.1 模型总体描述  31-32
  4.2 元胞状态与近邻  32-35
    4.2.1 元胞状态  32-33
    4.2.2 元胞近邻及耦合作用力的定义  33-35
  4.3 演化规则  35-40
    4.3.1 中心元胞的状态转变函数  35-36
    4.3.2 演化规则与思路  36-37
    4.3.3 计算模型  37-38
    4.3.4 算法实现  38-40
第五章规则格阵Potts系统的相变研究  40-51
  5.1 Ising系统（q=2）  40-47
    5.1.1 一维直线格阵Ising模型  40-41
    5.1.2 二维正方格阵Ising模型  41-44
    5.1.3 二维三角格阵Ising模型  44-45
    5.1.4 二维六方格阵Ising模型  45-46
    5.1.5 三维立方格阵Ising模型  46-47
  5.2 Potts系统（q=3，4，8）  47-51
    5.2.1 二维Potts模型  47-50
    5.2.2 三维立方格阵Potts模型  50-51
第六章非规则Potts磁系统元胞自动机模型在数据聚类中的应用  51-56
  6.1 Iris plants data  51-53
  6.2 高维考古数据集  53-56
总结与展望  56-57
参考文献  57-60
作者简历攻读硕士学位期间完成的主要工作  60-61
致谢  61

正则Potts磁系统的元胞自动机模型及其应用

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