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正规紧算子λ-交换算子对和算子补问题

作　者: 杨剑
导　师: 杜鸿科
学　校: 陕西师范大学
专　业: 基础数学
关键词: 正规紧算子 λ-交换算子对量子效应算子补问题算子矩阵
分类号: O177
类　型: 硕士论文
年　份: 2003年
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内容摘要

本文研究的内容涉及正规紧算子，λ-交换算子对和算子补问题。这些内容都是算子理论界较为关注的问题。全文分三章，分别就这三个问题进行了研究。 Hilbert空间上的紧算子是算子理论中一类非常重要的有界线性算子，它们具有很多比较好的性质。而正规的紧算子具有一些更好的性质，如正规紧算子具有离散的谱表示，正规紧算子的函数演算等。因此，有关紧算子是正规算子的条件也就显得很重要。最近，M. Sadkane给出了一个n阶矩阵是正规矩阵的三个充要条件，而n阶矩阵可以看成Hilbert空间Cⁿ上的紧算子。在本文的第一章中，我们从算子理论的角度出发，采用完全不同于M. Sadkane所给的方法得到了复可分Hilbert空间上的正规紧算子的三个等价刻画。 Hilbert空间上的自伴算子对的交换关系在量子力学中的可观性阐述及量子力学的谱分析中都具有非常重要的作用，并且这种交换关系在算子理论中已有很深入的研究，某种仅差一个因子交换的算子对在数学和量子力学中也都具有同样重要的意义。量子效应在量子力学中是非常重要的，而它可以从算子理论的角度去进行研究。在本文的第二章中，我们以算子的空间结构分解为主要手段，研究了这种仅差一个因子交换的算子对和序贯量子效应，得到了它们的一些很好的性质，回答了Stan Gudder等人最近提出的一个公开问题，并且证明了：AB=λBA当且仅当以下条件之一成立（ⅰ）存在一个B_ii≠0，1≤i≤m，λ=1且B=diag(B₁₁，…，B_mm，B₂)；（ⅱ）对所有1≤i≤m，B_ii=0，且算子A，B是相容的。算子补问题不仅是一种深入学习，研究矩阵论和算子理论的途径，而且它有着广泛的应用背景。算子补问题在统计学（如熵方法），化学（如分子结构），系统科学，离散最优化（如松弛方法），数据压缩等学科中都有非常广泛的应用。近十年来，一大批学者如Hong-Ke Du, Cai-Xing Gu, Katsutoshi Takahashi, Jian-Lian Cui, Jin-Chuan Hou, L. Rodman, Spotkosky等，先后对几类缺项算子矩阵的一些补问题进行了深入的研究。在本文的第三章中，我们研究了三类缺项算子矩阵的一些补问题，刻画了形如和的算子的谱的交集，得到了对任意X∈B（K），算子都可逆的一个充要条件，并且证明了：若A∈B（H），B∈B（K，H），则。其中＊人B)：一（人EC：（人I一人，m不是右可逆的｝．V（A．川）：＝…EC：风A一J术）十R（B）二刀，风A一V 是闭的，山。。玉N（A＊一厂）＝“。且uN卜一多＜”山且二互N旧）＜co且dimR（PB）＜co＊P是从H到 R(A－l…上的正交投影．

全文目录

前言  7-9
第一章正规紧算子  9-16
  1.1 引言  9
  1.2 正规紧算子的等价刻画  9-16
第二章 λ-交换算子对  16-28
  2.1 引言  16
  2.2 λ-交换算子对的准备知识  16-17
  2.3 λ-交换算子对的性质  17-23
  2.4 序贯量子效应  23-28
第三章算子补问题  28-46
  3.1 引言  28
  3.2 缺项算子矩阵(?)  28-38
  3.3 缺项算子矩阵(?)  38-43
  3.4 缺项算子矩阵(?)  43-46
总结  46-47
致谢  47-48
参考文献  48-50
攻读硕士学位期间的研究成果  50

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